El siguiente es un listado de enunciados de varios ejercicios de la guía de TP, agrupados por tema. Intenté no poner ejercicios redundantes (de resolución parecida a otros) y abarcar muchos temas de la materia, y que estén resueltos en el blog.
Una cuestión a tener en cuenta es que los ejercicios de exámen suelen ser más integradores, es decir suelen mezclar varios temas en un sólo ejercicio (sobre todos los ejercicios de final).
TP1 – Ecuaciones diferenciales – 1º parte
Variables separables
1.) Tp.1 Ej.5.b
Halle, según corresponda, la S.G. o la S.P. de las siguientes ecuaciones diferenciales.
b)
solución
EDO Lineal de primer orden
2.) Tp.1 Ej.9.a
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de 1º orden.
a)
solución
Reducir el orden mediante sustitución
3.) Tp.1 Ej.16
Halle la S.G. de
solución
Familia de curvas ortogonal
4.) Tp.1 Ej.12.b
Halle la familia de curvas ortogonal a la dada:
solución
TP2 – Nociones de Topología – Funciones
Puntos interior, exterior, frontera. Conjunto abierto, cerrado, acotado
5.) Tp.2 Ej.1.f
Reconozca los siguientes conjuntos de puntos y grafíquelos. En cada caso analice si el conjunto es cerrado, abierto, acotado; indique cuales son sus puntos interiores, frontera y exteriores.
f) Puntos del plano en el 1º cuadrante tales que ,
solución
Conjunto de nivel
6.) Tp.2 Ej.5.a
Represente geométricamente los conjuntos de nivel de los siguientes campos escalares:
a)
solución
TP3 – Límite y Continuidad
Límite de función vectorial
7.) Tp.3 Ej.1
1) Analice la existencia del
solución
Límite, cambio a una variable
8.) Tp.3 Ej.3.c
3) Analice la existencia de los siguiente límites
c)
solución
Dos caminos con límites distintos
9.) Tp.3 Ej.7.a
7) Analice la continuidad en el origen de los siguientes campos escalares.
a)
solución
Infinitésimo por acotado
10.) Tp.3 Ej.6.b
6) Analice la continuidad en el orgien de los siguientes campos escalares.
b)
solución
11.) Tp.3 Ej.3.f
3) Analice la existencia de los siguientes límites.
f)
solución
con coordenadas polares
12.) Tp.3 Ej.11
Sea si
a) Demuestre que f es continua en el origen.
b) ¿Puede analizar le límite acercándose al origen por la línea de nivel 1 de f?
solución
TP4 – Derivabilidad – Recta tangente y plano normal
Derivada de función vectorial
13.) Tp.4 Ej.2
Dada de ec. con , analice si su recta tangente en interseca…
a) … al eje .
b) … a de ec.
c) … a la curva de ec. con .
solución
Derivadas parciales por definición
14.) Tp.4 Ej.4.d
Analice por definición la existencia de las derivadas parciales de en el punto ; cuando sea posible verifique aplicando la regla práctica de derivación.
Derivabilidad
15.) Tp.4 Ej.6.a
Estudie la derivabilidad en distintas direcciones en el punto A que se indica en cada caso.
a)
solución
TP5 – Diferenciabilidad – Plano tangente y recta normal
16.) Tp.5 Ej.2
Siendo si y si , calcule aplicando la definición. Observe que en este caso , ¿existe la derivada pedida?; si existe, ¿cuál es su valor?
solución
Aproximación (Taylor de 1º orden)
17.) Tp.5 Ej.8.a
Calcule mediante aproximación lineal y compare el resultado con el obtenido con calculadora.
a) cuando
solución
18.) Tp.5 Ej.14
Sea , si y . a) Calcule , b) determine el valor de la derivada direccional máxima de en , c) Sabiendo que , calcule en forma aproximada
solución
Superficie regular
19.) Tp.5 Ej.10
Sea la superficie de ecuación con , verifique que es un punto regular de . Determine y exprese en forma cartesiana el plano tangente y la recta normal a en .
solución
TP6 – Funciones compuestas e implícitas
Función compuesta combinada con implícita
20.) Tp.6 Ej.13
Dada con , resulta . Halle las direcciones tales que , si queda definida implícitamente por
solución
TP12 – Polinomio de Taylor – Extremos
Taylor de 2º orden
21.) Tp.12 Ej.3.a
Desarrolle los siguientes campos por Taylor hasta 2º orden en un entorno de A.
a)
solución
Extremos locales o relativos
22.) Tp.12 Ej.8.a
Estudie la existencia de extremos relativos (locales) y de extremos absolutos en sus dominios naturales de:
a)
solución
TP7 – Curvas – Integrales de línea – Función potencial
Longitud de curva
23.) Tp.7 Ej.3
Calcule la longitud de la trayectoria de una partícula que se mueve sobre la superficie de ecuación desde el punto hasta el , si la proyección de su recorrido sobre el plano xy es el segmento de puntos extremos y
solución
Circulación
24.) Tp.7 Ej.12
Calcule la circulación de a lo largo de la curva intersección de con desde hasta
solución
Función potencial
25.) Tp.7 Ej.14.d
Verifique si los siguientes campos admiten función potencial; de existir, determínela.
solución
26.) Tp.7 Ej.16
Sea , demuestre que tiene matriz jacobiana contínua y simétrica en su dominio, pero no admite función potencial en él.
solución
TP8 – Integrales múltiples
Area región plana
27.) Tp.8 Ej.1.e
Calcule el área de las siguientes regiones planas mediante integrales dobles; se recomienda no aplicar propiedades de simetría, plantee los límites para toda la región.
e) : conjunto de positividad de
solución
Cambio de variables
28.) Tp.8 Ej.6.a
Resuelva los siguientes ejercicios usando el cambio de coordenadas indicado.
a) , , usando
solución
Coordenadas «elípticas»
29.) Tp.8 Ej.7.a
Calcule el área de la región plana limitada por las curvas de niveles y de
solución
Volúmen
30.) Tp.8 Ej.10.e
Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo , usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.
e)
solución
31.) Tp.8 Ej.10.h
Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.
h) definido por ,
solución
Masa
32.) Tp.8 Ej.15.a
Calcule la masa de los siguientes cuerpos:
a) cuerpo limitado por , si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje .
solución
TP9 – Integrales de superficie, flujo
Área de superficie
33.) Tp.9 Ej.5.a
Calcule el área de las siguientes superficies:
a) Trozo de cilindro con , , 1º octante.
solución
34.) Tp.9 Ej.5.c
Calcule el área de las siguientes superficies:
c) Trozo de cilindro con ,
solución
Flujo de un campo sobre una superficie
35.) Tp.9 Ej.10.c
Calcule el flujo de a través de , indicando gráficamente la orientación del versor normal que ha elegido, o bien que se le solicite en cada caso.
c) a través del trozo de superficie cilíndrica de ecuación con , .
solución
36.) Tp.9 Ej.12
Calcule el flujo del gradiente de a través de en el 1º octante, con . Suponga .
solución
TP10 – Teoremas integrales (Green, Gauss, Stokes)
Green para calcular área
37.) Tp.10 Ej.1.a
Sea con ( constante). Aplicando el teorema de Green demuestre que con frontera de .
Proponga alguna fórmula para el cálculo del área de regiones planas mediante integrales de línea y aplíquela para calcular el área de las regiones definidas por:
a) ,
solución
Green para calcular circulación
38.) Tp.10 Ej.2
Calcule la circulación de a lo largo de la frontera de la región definida por recorrida en sentido positivo.
solución
39.) Tp.10 Ej.6
Sea en tal que , dadas las curvas y , calcule sabiendo que
solución
Stokes
40.) Tp.10 Ej.18
Calcule la circulación de a lo largo de la curva intersección de con aplicando el teorema del rotor. Indique gráficamente la orientación que ha elegido para recorrer la curva.
solución
Divergencia, restando la tapa
41.) Tp.10 Ej.24
Calcule el flujo de a través de la semiesfera de ecuación sabiendo que , siendo
solución
TP11 – Ecuaciones diferenciales – 2º parte
EDO homogénea
42.) Tp.11 Ej.1.d
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas de 1º orden.
d)
solución
EDO total exacta
43.) Tp.11 Ej.4.c
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales totales exactas o convertibles a este tipo:
c)
solución
EDO de 2º orden
44.) Tp.11 Ej.11.a
Halle la solución particular (S.P.)
a) S.P. de tal que ,
solución
Hola Damian! Soy del curso de verano.
Te molesto con una consulta.
En el ejercicio 7. c, de la practica 3, debo plantear la continuidad. Pero no estoy segura de como hacerlo. Llegue al caso de que si el limite tiene algun valor es cero, pero nada mas. Gracias!
Hola Svetlana,
Probastes plantear el límite como infinitésimo por acotada?
Saludos,
Damián.
Hola Damian
Haciendolo para las variables (x,y) y de esa manera estaria cubriendo todos los casos posibles verdad? Ya que el limite en ese caso me daria cero y aseguraria la continuidad por todos los caminos…
Si, cubre todos los casos.
Hola Damián,
Hay varios ejercicios de ésta práctica que no me salieron:
6 – Optativo: halle la SG indicada para la ecuación diferencial del item 2.c
y^2=C_1x + C_2 es SG de yy’^2 + y^2y´´ = 0
No entiendo como usar la sugerencia brindada por la práctica
8- Halle la flia de curvas tales que su recta tg en cada punto:
d- tiene abscisa al origen igual al triple de la abscisa del punto
e- es normal a la recta que pasa x dicho punto y el origen de coordenadas
No sé como plantearlas
14- Demuestre que la flia de curvas y^2=4Cx + 4C^2 es ortogonal a sí misma.
Hago:
y^2 = 4Cx + 4C^2
2yy’ = 4C
\frac {yy’}{2} = C
Reemplazo: y^2 = 2yy’ (x + \frac {yy’}{2})
\frac {y}{2y’} = x + \frac {yy’}{2}
\frac {1}{y’} = \frac {2x}{y} + y’
Y acá me trabo
21 – sea y = f(x) la SP de x ( x + y’) = y que pasa por (a,0) con a>0, demuestre que f produce un máximo absoluto en el intervalo [0,a]; ¿cuál es el valor de dicho máximo?
Desarrollo y llego que la SP es y= -x^2 + ax
Me da el máximo \frac {a}{2}
Pero la solución dice que es \frac {a^2}{4}
Por último,
23- Halle las curvas que en cada punto tienen recta normal con ordenada al origen igual a 5.
La respuesta es x^2 + (y-5)^2 = C pero no sé como llega a eso.
Cualquier ayuda u orientación que puedas brindarme, te lo agradezco desde ya.
Saludos,
Marina
Hola Marina,
En el 8, es más facil si primero planteas una ec. dif. a partir del enunciado y luego la resolves.
En el 14, hacé como si fueran dos familias distintas, te tiene que dar que
En el 21 el máximo es el valor de la funcion, no el punto crítico.
En el 23 es como el 8, planteá una ec. dif y resolvela.
Espero te sirva de orientación,
Saludos,
Damián
Damián,
No entiendo lo que me indicás del 14.
El 21 tenés razón, me equivoqué ahí.
En cuanto al 8.d y 8.e y al 23, justamente no sé como plantear la ecuación a partir de lo pedido.
Muchas gracias
hola perdon la pregunta pero no se como resolver y´-y=c? con g(0)=3
Buenas,
Un poco tarde tal vez pero dejo resuelto el ejercicio que pide Marina
«Halle las curvas que en cada punto tienen recta normal con ordenada al origen igual a 5.»
// lo que nos está pidiendo es la familia de curvas ortogonales a la recta
y= mx+5
//derivo
y’= m
//reemplazo en la primera ecuacion para hallar la ED
y’=(y-5)/x
xy’= (y-5)
y= xy’+5
Como la relación entre la normal y la tangente es y’ = -1/z’ (llamo z’ a la derivada de la familia ortogonal)
//reemplazando queda
-x/z’ = z-5
//resuelvo por variables separables
c1 = z^2 + x^2 -10z
//completo cuadrados
c1 = x^2 + (z-5)^2
Así es como lo resolví yo. Pido disculpas si me equivoqué en algo.
Saludos!
Axel Díaz