Selección de ejercicios (de la Guía de TP)

El siguiente es un listado de enunciados de varios ejercicios de la guía de TP, agrupados por tema. Intenté no poner ejercicios redundantes (de resolución parecida a otros) y abarcar muchos temas de la materia, y que estén resueltos en el blog.
Una cuestión a tener en cuenta es que los ejercicios de exámen suelen ser más integradores, es decir suelen mezclar varios temas en un sólo ejercicio (sobre todos los ejercicios de final).

TP1 – Ecuaciones diferenciales – 1º parte

Variables separables

1.) Tp.1 Ej.5.b
Halle, según corresponda, la S.G. o la S.P. de las siguientes ecuaciones diferenciales.
b) x \frac{dy}{dx} - y = 2x^2y
solución

EDO Lineal de primer orden

2.) Tp.1 Ej.9.a
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de 1º orden.
a) xy' - y - x^3 = 0
solución

Reducir el orden mediante sustitución

3.) Tp.1 Ej.16
Halle la S.G. de y'' - 2y' = x
solución

Familia de curvas ortogonal

4.) Tp.1 Ej.12.b
Halle la familia de curvas ortogonal a la dada:
y = C e^x
solución

TP2 – Nociones de Topología – Funciones

Puntos interior, exterior, frontera. Conjunto abierto, cerrado, acotado

5.) Tp.2 Ej.1.f
Reconozca los siguientes conjuntos de puntos y grafíquelos. En cada caso analice si el conjunto es cerrado, abierto, acotado; indique cuales son sus puntos interiores, frontera y exteriores.
f) Puntos del plano en el 1º cuadrante tales que y > x^2 - x, y \leq 2
solución

Conjunto de nivel

6.) Tp.2 Ej.5.a
Represente geométricamente los conjuntos de nivel de los siguientes campos escalares:
a) f(x,y) = xy-2
solución

TP3 – Límite y Continuidad

Límite de función vectorial

7.) Tp.3 Ej.1

1) Analice la existencia del \lim_{u \rightarrow 0} \left( \frac{1-cos(u)}{u^2}, 1+2u, \frac{sen(u^2)}{u^3+u^2} \right)
solución

Límite, cambio a una variable

8.) Tp.3 Ej.3.c
3) Analice la existencia de los siguiente límites
c) \lim_{(x,y) \rightarrow (2,2)} \frac{sen(4-xy)}{16-x^2y^2}
solución

Dos caminos con límites distintos

9.) Tp.3 Ej.7.a
7) Analice la continuidad en el origen de los siguientes campos escalares.
a) f(x,y) = \begin{cases} x^3/(x^2 + y) & si \ x^2 + y \neq 0 \\ 0 & si \ x^2 + y = 0 \end{cases}
solución

Infinitésimo por acotado

10.) Tp.3 Ej.6.b
6) Analice la continuidad en el orgien de los siguientes campos escalares.
b) f(x,y) = \begin{cases} \frac{1-\cos(xy)}{x} & si \ x \neq 0 \\ 0 & si \ x=0 \end{cases}
solución

11.) Tp.3 Ej.3.f
3) Analice la existencia de los siguientes límites.
f) \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} x \sin(1/y)
solución

con coordenadas polares

12.) Tp.3 Ej.11
Sea f(x,y) = x^3/(x^2+y^2) si (x,y) \neq (0,0), f(0,0)=0
a) Demuestre que f es continua en el origen.
b) ¿Puede analizar le límite acercándose al origen por la línea de nivel 1 de f?
solución

TP4 – Derivabilidad – Recta tangente y plano normal

Derivada de función vectorial

13.) Tp.4 Ej.2
Dada C de ec. \vec{X}=(u^2, u-2, u+3) con u \in \mathbb{R}, analice si su recta tangente en (9,1,6) interseca…
a) … al eje z.
b) … a \Sigma de ec. z=x-2y^2
c) … a la curva de ec. \vec{X} = (v,2v,32v^{-1}) con v \neq 0.
solución

Derivadas parciales por definición

14.) Tp.4 Ej.4.d
Analice por definición la existencia de las derivadas parciales de f en el punto \vec{A}; cuando sea posible verifique aplicando la regla práctica de derivación.

f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3+ (y-1)^2}{x^2 + (y-1)^2} & si \ (x,y) \neq (0,1) \\ f(x,y) = 0 & si \ (x,y) = \vec{A} = (0,1) \end{cases}
solución

Derivabilidad

15.) Tp.4 Ej.6.a
Estudie la derivabilidad en distintas direcciones en el punto A que se indica en cada caso.
a) f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy-x}{x^2 + (y-1)^2} & si \ (x,y) \neq (0,1) \\ f(x,y) = 0 & si \ (x,y) = (0,1) \end{cases}
solución

TP5 – Diferenciabilidad – Plano tangente y recta normal

16.) Tp.5 Ej.2
Siendo f(x,y) = \sqrt{xy} si xy \geq 0 y f(x,y) = x si xy < 0, calcule f'((0,0), (2,-1)) aplicando la definición. Observe que en este caso f'((0,0),(2,-1)) \neq \nabla f(0,0) \cdot (2,-1), ¿existe la derivada pedida?; si existe, ¿cuál es su valor?
solución

Aproximación (Taylor de 1º orden)

17.) Tp.5 Ej.8.a
Calcule mediante aproximación lineal y compare el resultado con el obtenido con calculadora.
a) f(1.96, 0.96) cuando f(x,y) = \sqrt{25-2x^2-y^2}
solución

18.) Tp.5 Ej.14
Sea f \in C^1, si f'(\vec{A}, (3,4)) = 4 y f'(\vec{A}, (2,7)) = -6. a) Calcule f'(\vec{A}, (5,9)), b) determine el valor de la derivada direccional máxima de f en \vec{A}, c) Sabiendo que f(\vec{A}) = 3, calcule en forma aproximada f(\vec{A} + (0.01, -0.02))
solución

Superficie regular

19.) Tp.5 Ej.10
Sea S la superficie de ecuación \vec{X} = (u-v^2, v^2 /u, u/v) con (u,v) \in \mathbb{R}^2 / uv \neq 0, verifique que \vec{A} = (-2,2,1) es un punto regular de S. Determine y exprese en forma cartesiana el plano tangente y la recta normal a S en \vec{A}.
solución

TP6 – Funciones compuestas e implícitas

Función compuesta combinada con implícita

20.) Tp.6 Ej.13
Dada z = u+ve^{u-v} con u = f(x,y) \wedge v = y^2, resulta z = h(x,y). Halle las direcciones \vec{r} tales que h'((2,1), \vec{r}) = 0, si f queda definida implícitamente por 2y-ux-\ln(u) = 0
solución

TP12 – Polinomio de Taylor – Extremos

Taylor de 2º orden

21.) Tp.12 Ej.3.a
Desarrolle los siguientes campos por Taylor hasta 2º orden en un entorno de A.
a) f(x,y) = x - y \sqrt{6-x}, A = (2,3)
solución

Extremos locales o relativos

22.) Tp.12 Ej.8.a
Estudie la existencia de extremos relativos (locales) y de extremos absolutos en sus dominios naturales de:
a) f(x,y) = x^2 + y^2 + xy^2
solución

TP7 – Curvas – Integrales de línea – Función potencial

Longitud de curva

23.) Tp.7 Ej.3
Calcule la longitud de la trayectoria de una partícula que se mueve sobre la superficie de ecuación z=x^2 - 4y^2 desde el punto (1,2,-15) hasta el (3,1,5), si la proyección de su recorrido sobre el plano xy es el segmento de puntos extremos (1,2,0) y (3,1,0)
solución

Circulación

24.) Tp.7 Ej.12
Calcule la circulación de f(x,y,z) = (x-y, x, yz) a lo largo de la curva intersección de z = x - y^2 con y=x^2 desde (1,1,0) hasta (-1,1,-2)
solución

Función potencial

25.) Tp.7 Ej.14.d
Verifique si los siguientes campos admiten función potencial; de existir, determínela.
f(x,y,z) = (2x+y+1, x+z, y+2z)
solución

26.) Tp.7 Ej.16
Sea f: \mathbb{R}^2 - \{ 0 \} \to \mathbb{R}^2 / f(x,y) = \left( \frac{y}{x^2+y^2}, \frac{-x}{x^2+y^2} \right), demuestre que f tiene matriz jacobiana contínua y simétrica en su dominio, pero no admite función potencial en él.
solución

TP8 – Integrales múltiples

Area región plana

27.) Tp.8 Ej.1.e
Calcule el área de las siguientes regiones planas mediante integrales dobles; se recomienda no aplicar propiedades de simetría, plantee los límites para toda la región.
e) D: conjunto de positividad de f(x,y) = (y - 2|x|)\sqrt{20-x^2-y^2}
solución

Cambio de variables

28.) Tp.8 Ej.6.a

Resuelva los siguientes ejercicios usando el cambio de coordenadas indicado.
a) \iint_D (6-x-y)^{-1} dxdy, D : |x+y| \leq 2 \wedge y \leq x+2 \leq 4, usando (x,y) = (v, u-v)
solución

Coordenadas “elípticas”

29.) Tp.8 Ej.7.a

Calcule el área de la región plana limitada por las curvas de niveles e^4 y e^8 de f(x,y) = e^{x^2 + 2y^2}
solución

Volúmen

30.) Tp.8 Ej.10.e
Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.
e) H = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / z \geq x^2 \wedge x \geq z^2 \wedge x \geq |y| \}
solución

31.) Tp.8 Ej.10.h
Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.
h) H definido por x^2 + 2y^2 + z \leq 32, z \geq x^2
solución

Masa

32.) Tp.8 Ej.15.a
Calcule la masa de los siguientes cuerpos:
a) cuerpo limitado por z = 4-x^2-y^2, z = 8 - 2x^2 - 2y^2 si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z.
solución

TP9 – Integrales de superficie, flujo

Área de superficie

33.) Tp.9 Ej.5.a
Calcule el área de las siguientes superficies:
a) Trozo de cilindro z = 2x^2 con y \leq x, z \leq 6, 1º octante.
solución

34.) Tp.9 Ej.5.c
Calcule el área de las siguientes superficies:
c) Trozo de cilindro x^2 + z^2 = 4 con -x \leq y \leq x, z \geq 0
solución

Flujo de un campo sobre una superficie

35.) Tp.9 Ej.10.c
Calcule el flujo de f a través de S, indicando gráficamente la orientación del versor normal que ha elegido, o bien que se le solicite en cada caso.
c) f(x,y,z) = (xy, zx, y-xz^2) a través del trozo de superficie cilíndrica de ecuación y = x^3 con 0 \leq z \leq x+y, x+y \leq 10.
solución

36.) Tp.9 Ej.12
Calcule el flujo del gradiente de f(x,y,z) = x+y+zg(x-y) a través de x+y=4 en el 1º octante, con 0 \leq z \leq 8. Suponga g \in C^1.
solución

TP10 – Teoremas integrales (Green, Gauss, Stokes)

Green para calcular área

37.) Tp.10 Ej.1.a
Sea f \in C^1 / f(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) con Q'_x - P'_y \equiv k \neq 0 (k constante). Aplicando el teorema de Green demuestre que Area(D) = \frac{1}{k} \oint_{\partial D^+} \vec{f} \cdot \vec{ds} con \partial D frontera de D \subset \mathbb{R}^2.

Proponga alguna fórmula para el cálculo del área de regiones planas mediante integrales de línea y aplíquela para calcular el área de las regiones definidas por:
a) \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1, a,b \in \mathbb{R}^+
solución

Green para calcular circulación

38.) Tp.10 Ej.2
Calcule la circulación de f(x,y) = (x^2 + y^2, 3xy + \ln(y^2+1)) a lo largo de la frontera de la región definida por 4x^2 + (y-1)^2 \leq 1 recorrida en sentido positivo.
solución

39.) Tp.10 Ej.6
Sea \overline{f} = (P,Q) \in C^1 en \mathbb{R}^2 - \{0\} tal que Q'_x - P'_y = 5, dadas las curvas C_1 : x^2 + 9y^2 = 36 y C_2 : x^2 + y^2 = 4, calcule \oint_{C_2^+} \overline{f} \cdot \overline{ds} sabiendo que \oint_{C_1^+} \overline{f} \cdot \overline{ds} = 7\pi
solución

Stokes

40.) Tp.10 Ej.18
Calcule la circulación de f(x,y,z) = (xy, y-x, yz^2) a lo largo de la curva intersección de x^2+y^2+z^2 = 8 con x = \sqrt{y^2 + z^2} aplicando el teorema del rotor. Indique gráficamente la orientación que ha elegido para recorrer la curva.
solución

Divergencia, restando la tapa

41.) Tp.10 Ej.24
Calcule el flujo de f \in C^1 a través de la semiesfera de ecuación z = \sqrt{1-x^2-y^2} sabiendo que f(x,y,0) = (x,y,x^2), siendo div(f(x,y,z)) = 2(1+z)
solución

TP11 – Ecuaciones diferenciales – 2º parte

EDO homogénea

42.) Tp.11 Ej.1.d
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas de 1º orden.
d) y' = y/(x-y)
solución

EDO total exacta

43.) Tp.11 Ej.4.c
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales totales exactas o convertibles a este tipo:
c) (6xy-y^3)dx + (4y + 3x^2 - 3xy^2)dy = 0
solución

EDO de 2º orden

44.) Tp.11 Ej.11.a
Halle la solución particular (S.P.)
a) S.P. de y'' - y' - 2y = 4x^2 tal que y(0) = 1, y'(0) = 4
solución

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