Tp.7 Ej.14.d

Verifique si los siguientes campos admiten función potencial; de existir, determínela.

f(x,y,z) = (2x+y+1, x+z, y+2z)

Solución:
Recordemos que la condición necesaria para que el campo sea conservativo (exista función potencial) es que su jacobiano sea simétrico. Por lo tanto veamos si se cumple:

Df = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
Con lo cual observamos que es simétrico y por lo tanto se cumple la condición necesaria.

La condición suficiente es que el dominio sea simplemente conexo, pero como el dominio es Dm(f) = \mathbb{R}^3 esto también se cumple, por lo tanto sabemos que existe función potencial y procedemos a calcularla:

La función potencial la voy a llamar F, y es tal que su gradiente es f, por lo tanto tenemos que f = (F'_x, F'_y, F'_z)

Integrando el primer componente obtenemos
F \approx x^2 + yx + x + c(yz)

Es decir nos queda una constante de indeterminación que en realidad puede ser función de y y de z

Hacemos lo mismo con los otros dos componentes:
F \approx xy + zy + c(xz)
F \approx yz + z^2 + c(xy)

Entre las tres ecuaciones podemos armar la función potencial original:

F(x,y,z) = x^2 + xy + x + zy + z^2 + c
La cual tiene una constante de indeterminación, y es fácil verificar que su gradiente es el campo vectorial f.

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5 comentarios en “Tp.7 Ej.14.d

  1. Cuando se verifica la condición necesaria para la existencia de función potencial ¿Q’x, P’y tienen que coincidir en todos los terminos? Es decir, ¿tienen que ser exactamente iguales? Porque estoy revisando algunos ejercicios hechos en clase donde esto no se cumple pero igualmente continuamos con el desarrollo de la función.

    Por ej, en el ejercicio 16 de la Unidad 8:

    f(x,y) = ( y/(x^2 + y^2), -x/(x^2 + y^2) )

    Q’x = -(x^2 + y^2) – 2x^2 = -3x^2 – y^2
    P’y = (x^2 + y^2) – 2y^2 = x^2 – y^2

    En ambos casos el denominador es (x^2 + y^2)^2.
    Esas derivadas no son iguales, no? Es necesario calcular la circulación para terminar el ejercicio?

    Muchas gracias!!

    • Hola Federico,
      Seguro que copiastes algo mal, para que f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 sea un campo conservativo se tiene que cumplir que Q'_x = P'_y

      En ese ejercicio el numerador de ambos es x^2 - y^2 , fijate que al derivar Q'_x te equivocastes en un signo.

      Si no se cumpliera esa identidad (para todo valor de x), entonces no haría falta calcular la circulación, ya que diréctamente al no cumplirse la condición necesaria no sería conservativo.

      Ese ejercicio que mencionás, aún cumpliéndose la condición necesaria resultó que no era conservativo, tuvimos que hacer la circulación porque la región donde estaba definida el campo no era simplemente conexa.

      Saludos,
      Damián.

  2. Hola, el ejercicio 14.c
    Llegue a U(x,y,z)= sin(xz)+zy+beta(z)

    Como sigo? porque me da mal y me tiene que dar una constante C.

    Saludos y gracias!

    • Hola Jésica,

      No se a que llamás beta(z), pero cambiando eso por la constante arbitraria c te da la solución.

      El ejercicio pide encontrar (si existe) la función potencial de
      f(x,y,z) = (z \cos(xz), z, y+ \cos(xz))

      Si existiera (no verifico condición necesaria) se tendría
      \phi'_x = z \cos(xz)
      \phi'_y = z
      \phi'_z = y + x \cos(xz)

      \phi \approx \sin(xz) + c(y,z)
      \phi \approx yz + c(x,z)
      \phi \approx yz + \sin(xz) + c(x,y)

      Por lo tanto existe y es
      \phi(x,y,z) = \sin(xz) + yz + c

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