Tp.10 Ej.1.a

Lunes, julio 25th, 2011

Sea f \in C^1 / f(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) con Q'_x - P'_y \equiv k \neq 0 (k constante). Aplicando el teorema de Green demuestre que Area(D) = \frac{1}{k} \oint_{\partial D^+} \vec{f} \cdot \vec{ds} con \partial D frontera de D \subset \mathbb{R}^2.

Proponga alguna fórmula para el cálculo del área de regiones planas mediante integrales de línea y aplíquela para calcular el área de las regiones definidas por:

a) \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1, a,b \in \mathbb{R}^+

Solución:

El teorema de Green establece (bajo ciertas hipótesis) que
\oint_{C = \partial D^+} \vec{f} \cdot \vec{ds} = \iint_D Q'_x - P'_y dxdy

Entonces si Q'_x - P'_y \equiv k (constante), se tiene que
\oint_{C = \partial D^+} \vec{f} \cdot \vec{ds} = \iint_D k dxdy

\oint_{C = \partial D^+} \vec{f} \cdot \vec{ds} = k \iint_D dxdy

Despejando el área:
Area(D) = \iint_D dxdy = \frac{1}{k} \oint_{C = \partial D^+} \vec{f} \cdot \vec{ds}

Por ejemplo, tomando
f(x,y) = \left( \frac{-y}{2}, \frac{x}{2} \right)
se tiene que
Q'_y - P'_y = 1

Tomando la región D:
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1
Podemos parametrizar su curva frontera C = \partial D^+ en sentido positivo como
g(t) = (a\cos(t), b\sin(t)) con 0 \leq t \leq 2\pi
derivando
g'(t) = ( -a\sin(t), b\cos(t) )

Calculamos la circulación de f sobre C
\int_0^{2\pi} \left( \frac{-b\sin(t)}{2}, \frac{a\cos(t)}{2} \right) ( -a\sin(t), b\cos(t) ) dt

\int_0^{2\pi} \frac{ab\sin^2(t)}{2} +  \frac{ab\cos^2(t)}{2} dt

\int_0^{2\pi} \frac{ab}{2} dt = ab \pi

que es la fórmula del area de una elipse de semiradios a,b.

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