Tp.8 Ej.1.e

Domingo, noviembre 15th, 2009

Calcule el área de las siguientes regiones planas mediante integrales dobles; se recomienda no aplicar propiedades de simetría, plantee los límites para toda la región.

e) D: conjunto de positividad de f(x,y) = (y - 2|x|)\sqrt{20-x^2-y^2}

Solución:

Primero calculemos el dominio del campo escalar:

20 - x^2 - y^2 \geq 0
x^2 + y^2 \leq 20

Por lo tanto el dominio consiste en una circunferencia de radio 2\sqrt{5}

Para que sea positiva la función debe cumplirse:

20-x^2-y^2 > 0
x^2 + y^2 < 20

y

y > 2|x|

El gráfico de la región es:

tp8_ej1e
draw2d(
xlabel = "x", ylabel = "y",
parametric(2*sqrt(5)*cos(t), 2*sqrt(5)*sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(t, -2*t, t, -2,0),
parametric(t, 2*t, t, 0,2)
);

Como es la sección de un círculo vamos a usar coordenadas polares:

T : \begin{cases} x=\rho\cos(\phi) \\ y=\rho\sin(\phi) \end{cases}

Recordemos también que el jacobiano correspondiente a las coordenadas polares es:
|J| = \rho

El ángulo que hace la recta y = 2x con el eje x es \alpha = \arctan(2) (y por consiguiente, el ángulo que hace la recta y = -2x con el eje x es \pi - \alpha)

Por lo tanto el área pedida es:

\int_{\alpha}^{\pi-\alpha} d\phi \int_0^{2\sqrt{5}} \rho d\rho

(\pi-\alpha - \alpha) (10)
= 10(\pi - 2\alpha) \approx 9.27295218...

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Un comentario el “Tp.8 Ej.1.e

  1. Javier dice:

    Hola Damián, no me queda claro porqué si pi-\alpha < \phi < \alpha te queda el intervalo de integración al revés, ¿no sería \int_{\pi-\alpha}^{\alpha} d\phi laprimera integral para el cálculo del área?

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