2º Parcial Curso de Verano 2016

Martes, marzo 1st, 2016

2do_parcial_29_02_2016

T1) Averiguamos z_0, z_1 reemplazando en la primer superficie y vemos que A = (0,0,3), B = (-3,3,0).

La circulación pedida es \boxed{\phi(B) - \phi(A) = -9 - 9 = -18}

T2) y = Cx \ln|x|,
y' = C(\ln|x| + 1),
y'' = C(1/x)

x^2 y'' - xy' + y = xC - (Cx \ln|x| + Cx) + Cx \ln|x| = 0 . Luego es solución, pero no es general pues tiene una sola constante arbitraria y la ecuación es de segundo orden.

E1) Igualando las ecuaciones de las superficies, 4-x^2 = 4-y^2, |x| = |y|. Como va del (2,2,0) al (0,0,4), tomo y = x y puedo parametrizar como

g(t) = (t,t,4-t^2) con 0 \leq t \leq 2, con la aclaración de que me quedó en la orientación contraria.

- \int_0^2 ( 2t(4-t^2), t^2, 4-t^2 ) \cdot (1,1,-2t) dt = - \int_0^2 8t - 2t^3 + t^2 -8t + 2t^3 dt = - \int_0^2 t^2 dt = -[t^3/3]_0^2 = \boxed{-8/3}

E2) div(f) = 1 + 2 + 3 = 6.

Por teo. div. el flujo total saliente es \boxed{6 \int_0^{\pi/2} d\phi \int_0^1 \rho d\rho \int_{\rho}^{\sqrt{2 - \rho^2}} dz} = 2(\sqrt{2}-1)\pi (verifica con el wolfram)

E3) g(x,y) = (x,y,x^2)

g'_x = (1, 0, 2x)
g'_y = (0, 1, 0)

n = g'_x \times g'_y = (-2x, 0, 1)
||n|| = \sqrt{4x^2 + 1}

\boxed{\int_0^1 \sqrt{4x^2 + 1} dx \int_0^x dy} = \frac{5 \sqrt{5}}{12} - \frac{1}{12} \approx 0,848362 \ldots

E4) Por el método visto en clase se ve que \phi(x,y) = \ln(2x^2 + y^2 + 1) + C. Como \phi(0,0) = 0 se ve que C = 0.

Las lineas equipotenciales son de ecuación \ln(2x^2 + y^2 + 1) = K. Como pasa por (2,1) se tiene \ln(8 + 1 + 1) = K

Luego la linea equipotencial pedida es \ln(2x^2 + y^2 + 1) = \ln(10), queda \boxed{2x^2 + y^2 = 9}.

Planteando la ecuación de las líneas de campo queda y' = 2y/4x, es decir 2dy/y = dx/x, 2 \ln|y| = \ln|x| + C, y^2 = Kx, como pasa por (2,1) se tiene 1 = K2 es decir K=1/2, luego la línea de campo pedida es \boxed{2y^2 = x}

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