T1) Averiguamos 
reemplazando en la primer superficie y vemos que 
, 
.
La circulación pedida es 
T2) 
,
,
. Luego es solución, pero no es general pues tiene una sola constante arbitraria y la ecuación es de segundo orden.
E1) Igualando las ecuaciones de las superficies, 
, 
. Como va del 
al 
, tomo 
y puedo parametrizar como
con 
, con la aclaración de que me quedó en la orientación contraria.
![- \int_0^2 ( 2t(4-t^2), t^2, 4-t^2 ) \cdot (1,1,-2t) dt = - \int_0^2 8t - 2t^3 + t^2 -8t + 2t^3 dt = - \int_0^2 t^2 dt = -[t^3/3]_0^2 = \boxed{-8/3}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=-+%5Cint_0%5E2+%28+2t%284-t%5E2%29%2C+t%5E2%2C+4-t%5E2+%29+%5Ccdot+%281%2C1%2C-2t%29+dt+%3D+-+%5Cint_0%5E2+8t+-+2t%5E3+%2B+t%5E2+-8t+%2B+2t%5E3+dt+%3D+-+%5Cint_0%5E2+t%5E2+dt+%3D+-%5Bt%5E3%2F3%5D_0%5E2+%3D+%5Cboxed%7B-8%2F3%7D&bg=333333&fg=ffffff&s=0 "- \int_0^2 ( 2t(4-t^2), t^2, 4-t^2 ) \cdot (1,1,-2t) dt = - \int_0^2 8t - 2t^3 + t^2 -8t + 2t^3 dt = - \int_0^2 t^2 dt = -[t^3/3]_0^2 = \boxed{-8/3}")
E2) 
.
Por teo. div. el flujo total saliente es 
(verifica con el wolfram)
E3) 
E4) Por el método visto en clase se ve que 
. Como 
se ve que 
.
Las lineas equipotenciales son de ecuación 
. Como pasa por 
se tiene 
Luego la linea equipotencial pedida es 
, queda 
.
Planteando la ecuación de las líneas de campo queda 
, es decir 
, 
, 
, como pasa por se tiene 
es decir 
, luego la línea de campo pedida es 
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