2º Parcial Curso de Verano 2016

2do_parcial_29_02_2016

T1) Averiguamos $z_0, z_1$ reemplazando en la primer superficie y vemos que $A = (0,0,3)$ , $B = (-3,3,0)$ .

La circulación pedida es $\boxed{\phi(B) - \phi(A) = -9 - 9 = -18}$

T2) $y = Cx \ln|x|$ ,
$y' = C(\ln|x| + 1)$ ,
$y'' = C(1/x)$

$x^2 y'' - xy' + y = xC - (Cx \ln|x| + Cx) + Cx \ln|x| = 0$ . Luego es solución, pero no es general pues tiene una sola constante arbitraria y la ecuación es de segundo orden.

E1) Igualando las ecuaciones de las superficies, $4-x^2 = 4-y^2$ , $|x| = |y|$ . Como va del $(2,2,0)$ al $(0,0,4)$ , tomo $y = x$ y puedo parametrizar como

$g(t) = (t,t,4-t^2)$ con $0 \leq t \leq 2$ , con la aclaración de que me quedó en la orientación contraria.

$- \int_0^2 ( 2t(4-t^2), t^2, 4-t^2 ) \cdot (1,1,-2t) dt = - \int_0^2 8t - 2t^3 + t^2 -8t + 2t^3 dt = - \int_0^2 t^2 dt = -[t^3/3]_0^2 = \boxed{-8/3}$

E2) $div(f) = 1 + 2 + 3 = 6$ .

Por teo. div. el flujo total saliente es $\boxed{6 \int_0^{\pi/2} d\phi \int_0^1 \rho d\rho \int_{\rho}^{\sqrt{2 - \rho^2}} dz} = 2(\sqrt{2}-1)\pi$ (verifica con el wolfram)

E3) $g(x,y) = (x,y,x^2)$

$g'_x = (1, 0, 2x)$
$g'_y = (0, 1, 0)$

$n = g'_x \times g'_y = (-2x, 0, 1)$
$||n|| = \sqrt{4x^2 + 1}$

$\boxed{\int_0^1 \sqrt{4x^2 + 1} dx \int_0^x dy} = \frac{5 \sqrt{5}}{12} - \frac{1}{12} \approx 0,848362 \ldots$

E4) Por el método visto en clase se ve que $\phi(x,y) = \ln(2x^2 + y^2 + 1) + C$ . Como $\phi(0,0) = 0$ se ve que $C = 0$ .

Las lineas equipotenciales son de ecuación $\ln(2x^2 + y^2 + 1) = K$ . Como pasa por $(2,1)$ se tiene $\ln(8 + 1 + 1) = K$

Luego la linea equipotencial pedida es $\ln(2x^2 + y^2 + 1) = \ln(10)$ , queda $\boxed{2x^2 + y^2 = 9}$ .

Planteando la ecuación de las líneas de campo queda $y' = 2y/4x$ , es decir $2dy/y = dx/x$ , $2 \ln|y| = \ln|x| + C$ , $y^2 = Kx$ , como pasa por $(2,1)$ se tiene $1 = K2$ es decir $K=1/2$ , luego la línea de campo pedida es $\boxed{2y^2 = x}$

Una respuesta a 2º Parcial Curso de Verano 2016

Juani Rigada dijo:

noviembre 24, 2020 en 9:39 pm

Hola Damian, una pregunta. En el E2 el radio no iria de 0 a sqrt(2)?

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