Calcule la masa de los siguientes cuerpos:
a) cuerpo limitado por ,
si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje
.
Solución:
Primero calculemos la función de densidad:
Ahora grafiquemos la región de integración, se trata de la región encerrada entre dos paraboloides de revolución (grafico el “techo” abierto para que pueda visualizarse el “piso”):
draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 4-u^2, u,0,2, v,0,2*%pi),
color=light-blue,
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 8-2*u^2, u,0,2, v,0,2*%pi*0.90)
);
Veamos donde se intersectan estas superficies, para eso igualo las ecuaciones y nos queda:
reemplazando en la primer ecuación:
o sea que se intersectan en una circunferencia de radio 2, contenida en el plano
Como la región es simétrica respecto del eje z, vamos a plantear la integral en coordenadas cilíndricas (recordemos que el jacobiano de cilíndricas es ), para eso tenemos que transformar la función densidad:
Ahora planteamos la integral: