Tp.8 Ej.15.a

Calcule la masa de los siguientes cuerpos:

a) cuerpo limitado por z = 4-x^2-y^2, z = 8 - 2x^2 - 2y^2 si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z.

Solución:
Primero calculemos la función de densidad:
\delta (x,y,z) = k \sqrt{x^2+y^2}

Ahora grafiquemos la región de integración, se trata de la región encerrada entre dos paraboloides de revolución (grafico el “techo” abierto para que pueda visualizarse el “piso”):

tp8_ej15a
draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 4-u^2, u,0,2, v,0,2*%pi),
color=light-blue,
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 8-2*u^2, u,0,2, v,0,2*%pi*0.90)
);

Veamos donde se intersectan estas superficies, para eso igualo las ecuaciones y nos queda:

4 - x^2 - y^2 = 8 - 2x^2 - 2y^2
x^2 + y^2 = 4
reemplazando en la primer ecuación:
z = 4 - (4) = 0

o sea que se intersectan en una circunferencia de radio 2, contenida en el plano z=0

Como la región es simétrica respecto del eje z, vamos a plantear la integral en coordenadas cilíndricas (recordemos que el jacobiano de cilíndricas es \rho), para eso tenemos que transformar la función densidad:

\delta(\phi, \rho, z) = k\rho

Ahora planteamos la integral:

k \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^2 \rho^2 d\rho \int_{4-\rho^2}^{8 - 2\rho^2} dz

2k\pi \int_0^2 \rho^2 (8 - 2\rho^2 - 4 + \rho^2 ) d\rho

2k\pi \int_0^2 \rho^2 (4 - \rho^2 ) d\rho

2k\pi \int_0^2 4\rho^2 - \rho^4 d\rho

2k\pi \left[ \frac{4}{3}\rho^3 - \frac{\rho^5}{5} \right]_0^2

= \frac{128}{15} k \pi

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