Tp.12 Ej.3.a

Desarrolle los siguientes campos por Taylor hasta 2º orden en un entorno de A.
a) f(x,y) = x - y \sqrt{6-x}, A = (2,3)

Solución:

La fórmula del polinomio de Taylor de 2º orden en 2 variables es:

f(x,y) \approx P(x,y) = f(x_0,y_0) + \frac{\partial f}{\partial x} (x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y} (y-y_0) +
\frac{1}{2!} \left[ \frac{\partial^2 f}{(\partial x)^2} (x-x_0)^2 + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (x-x_0)(y-y_0) + \frac{\partial^2 f}{(\partial y)^2} (y-y_0)^2 \right]

donde en los primeros términos podemos ver la ecuación conocida del plano tangente, y los demás términos mejoran la aproximación en el entorno del punto (x_0,y_0).

Vamos a necesitar todas las primeras y segundas derivadas parciales:

f(x,y) = x - y (6-x)^{1/2}
\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \frac{y}{2} (6-x)^{-1/2}
\frac{\partial f}{\partial y} = -\sqrt{6-x}

\frac{\partial^2 f}{(\partial x)^2} = \frac{y}{4} (6-x)^{-3/2}
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{1}{2} (6-x)^{-1/2}
\frac{\partial^2 f}{(\partial y)^2} = 0

En el punto A = (x_0,y_0) = (2,3)

f = -4
f'_x = \frac{7}{4} f'_y = -2
f''_{xx} = \frac{3}{32} f''_{xy} = \frac{1}{4} f''_{yy} = 0

Por lo tanto:
P(x,y) = -4 + \frac{7}{4}(x-2) - 2 (y-3) + \frac{3}{64} (x-2)^2 + \frac{1}{4} (x-2)(y-3)

En la siguiente animación podemos ver la función en color azul, el punto de aproximación en rojo, y las aproximaciones sucesivas con los polinomios de taylor de grado 0, 1 y 2 en verde.

tp12_ej3a

draw(terminal=animated_gif,
delay=40,
file_name="gifanim",
gr3d(xrange = [-2,6], yrange = [-1,7], zrange = [-22,10],
rot_horizontal = 128, rot_vertical=65,
surface_hide = false,xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
explicit(x - y*sqrt(6-x),x,-2,6,y,-1,7),
color = "green",
explicit(-4,x,-2,6,y,-1,7),
color="red", line_width=4,
parametric(2,3,-4,t,0,10)
),
gr3d(xrange = [-2,6], yrange = [-1,7], zrange = [-22,10],
rot_horizontal = 128, rot_vertical=65,
surface_hide = false,xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
explicit(x - y*sqrt(6-x),x,-2,6,y,-1,7),
color = "green",
explicit(-4 + 7/4*(x-2) - 2*(y-3),x,-2,6,y,-1,7),
color="red", line_width=4,
parametric(2,3,-4,t,0,10)
),
gr3d(xrange = [-2,6], yrange = [-1,7], zrange = [-22,10],
rot_horizontal = 128, rot_vertical=65,
surface_hide = false,xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
explicit(x - y*sqrt(6-x),x,-2,6,y,-1,7),
color = "green",
explicit(-4 + 7/4*(x-2) - 2*(y-3) + 3/64*(x-2)^2 + 1/4*(x-2)*(y-3),x,-2,6,y,-1,7),
color="red", line_width=4,
parametric(2,3,-4,t,0,10)
)
);

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12 comentarios en “Tp.12 Ej.3.a

    • Hola Agos,
      Empezá por parametrizar la superficie (es fácil porque te dan una ecuación paramétrica) y componé la función que querés maximizar con la parametrización. Maximizá la compuesta como si fuera extremos libres, creo que de ahí en más te vas a dar cuenta, cualquier duda volvé a preguntar.
      Suerte!

  1. Hola Dami, el ejercicio 3 c) del tp 7 la respuesta esta expresada en funcion de tres variables x, y, z. Los ejercios de Taylor que vimos en clase dependian de dos variables x e y. Tendrias algun ejemplo sensillo que muestre como aproximar en funcion de x, y,z. Gracias!

    • Hola Agos,
      Es complétamente análogo al caso de dos variables (mas cuentas nada más).

      Si tenemos
      f : D \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R},
      X_0 = (x_0,y_0,z_0) \in D^0,
      f \in C^2(D),
      entonces la aproximación de taylor de 2do orden es

      f(x,y,z) \approx f(X_0) + f'_x(X_0)(x-x_0) + f'_y(X_0)(y-y_0) +
      + f'_z(X_0)(z-z_0) + \frac{1}{2!} [ f''_{xx}(X_0)(x-x_0)^2 + f''_{xy}(X_0)(x-x_0)(y-y_0) +
      + f''_{xz}(X_0)(x-x_0)(z-z_0) + f''_{yx}(X_0)(y-y_0)(x-x_0) + \ldots +
      + f''_{zz}(X_0)(z-z_0)^2 ]

      Bueno, creo que te das cuenta como sigue no?
      Sino, volvé a preguntar que resuelvo alguno.
      Suerte,
      Damián.

    • Hola Jesica,
      Por ejemplo en el 4.a te piden aproximar 0.98^{2.01}.
      La idea es usar un polinomio de Taylor de 1º orden de alguna función, entonces para este caso podés definir f(x,y) = x^y y aproximar f(0.98,2.01) desarrollando Taylor en (1,2), me explico?
      Saludos,
      Damián.

  2. Ajam…y lo calculo y eso me da la aproximacion que me pide. Bien! Gracias!
    Y mas abajo cuando tengo un campo escalar con modulo como en el Ej.6.a. no es posible responder si es extremo local o no porque no puedo aplicar el Hessiano. Como lo justifico que es un minimo? :S

    • Hola Jesica,
      No todo ejericio de extremos es para aplicar el Hessiano. En ese ni siquiera podés aplicar el gradiente. En esos casos tenés que usar otro criterio para ver si hay extremo. Suelen salir con propiedades de funciones conocidas, por ejemplo que la función f(x) = \sqrt{x} sólo retorna valores no negativos, y el mínimo lo da para f(0) = 0, fijate si con eso te sale.
      Saludos,
      Damián.

  3. Sí, gracias. Perdona que te moleste de nuevo, algo teorico-practico:

    Una de las condiciones de la regla practica, es que la funcion sea diferenciable. Me tope con funciones logaritmicas y exponenciales, ¿puedo decir como las polinomicas, que estas funciones son diferenciables en todo su dominio?

  4. El Ej, 14.a. encuentro analizando la condicion del gradiente = (0,0), saco el (1,1) pero existe otro (-1,-1), de donde sale? Quiza aun no entienda del todo como encarar esta serie de ejercicios. Saludos y gracias!

  5. Hola, tengo una duda crucial, se puede definir la derivada segunda para una función implícita?? Es por el ejercicio 14 d, de la guía de extremos. Tengo mañana el parcial, necesito ayuuuudaa!! Desde ya gracias!

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