Tp.11 Ej.4.c

Miércoles, agosto 12th, 2009

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales totales exactas o convertibles a este tipo:

c) (6xy-y^3)dx + (4y + 3x^2 - 3xy^2)dy = 0

Solución:

Primero verifiquemos que el campo vectorial asociado cumpla las condiciones necesarias para ser conservativo.

El campo vectorial asociado es

f(x,y) = (6xy-y^3, 4y + 3x^2 - 3xy^2)

La condición necesaria para que sea conservativo es:

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0

Verificamos:

(6x - 3y^2) - (6x - 3y^2) = 0

con lo cual cumple la condición necesaria (y suficiente ya que el dominio es R^2 que es simplemente conexo).

Por lo tanto procedemos a calcular la función potencial.

\int 6xy-y^3 dx = 3x^2y - xy^3 + c(y)

\int 4y + 3x^2 - 3xy^2 dy = 2y^2 + 3x^2y - xy^3 + c(x)

Combinando ambas integrales obtenemos la función potencial:

F(x,y) = 3x^2y - xy^3 + 2y^2 + c

por lo tanto la familia de soluciones de la ecuación diferencial es:

3x^2y - xy^3 + 2y^2 = C

Verifico con el software Maxima:

eq2:'diff(y,x) = (y^3-6*x*y)/(4*y+3*x^2-3*x*y^2);
ode2(eq2,y,x);

me entrega como resultado:
x\,{y}^{3}-2\,{y}^{2}-3\,{x}^{2}\,y=\%c
que es consistente con el resultado que hallamos.

El gráfico asociado a la ecuación diferencial es:
tp11_ej4c
load("plotdf");
plotdf((y^3-6*x*y)/(4*y+3*x^2-3*x*y^2));

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2 comentarios el “Tp.11 Ej.4.c

  1. Pablo dice:

    Hola Damian,

    Un consulta,
    En la resolucion del ejercicio donde decis
    “Combinando ambas integrales obtenemos la función potencial:”
    f(x,y)=3x^2y - xy^3 + 2y^2 + c
    No entiendo la operacion que realizas cuando decis “Combinando”

    Saludos,
    Pablo.

    • damidami dice:

      Hola Pablo,

      Me refiero a que agregás cada término que aparece en las dos integrales una vez, y le sumás todos los términos que aparecen en una sola de las integrales (que vendrían a estar en la constante de la otra)

      En el ejemplo 3x^2y y -xy^3 aparecen en ambas integrales, y 2y^2 aparece solo en la segunda, por eso queda 3x^2y - xy^3 + 2y^2 + c

      Es fácil verificar que el gradiente de la función potencial es el campo vectorial original.

      Saludos,
      Damián.

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