Tp.9 Ej.10.c

Sábado, noviembre 14th, 2009

Calcule el flujo de f a través de S, indicando gráficamente la orientación del versor normal que ha elegido, o bien que se le solicite en cada caso.

c) f(x,y,z) = (xy, zx, y-xz^2) a través del trozo de superficie cilíndrica de ecuación y = x^3 con 0 \leq z \leq x+y, x+y \leq 10.

Solución:

Primero parametricemos la superficie:

S(x,z) = (x,x^3,z)

Su vector normal es:

N = S'_x \wedge S'_z = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 3x^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right|
= (3x^2, -1, 0)

De la primer restricción:
0 \leq z \leq x + x^3

De la segunda restricción:
x + x^3 \leq 10

por tanteo, podemos ver que se cumple que x \leq 2

Además, de la primer restricción
x + x^3 \geq 0

De donde se desprende que x \geq 0

Por lo tanto el flujo pedido es:

\iint_S f(S(x,z)) \cdot N dxdz
\int_0^2 dx \int_0^{x+x^3} (x^4, zx, x^3-xz^2) \cdot (3x^2, -1, 0) dz
\int_0^2 dx \int_0^{x+x^3} 3x^6 - zx dz
\int_0^2 dx \left[ 3x^6z - \frac{z^2}{2}x \right]_0^{x+x^3}

\int_0^2 3x^6(x+x^3) - \frac{(x+x^3)^2}{2}x dx

\int_0^2 3x^7 + 3x^9 - \frac{1}{2}x^3 - x^5 - \frac{1}{2}x^7 dx

\int_0^2 3x^9 + \frac{5}{2}x^7 - x^5 - \frac{1}{2}x^3 dx

\left[ \frac{3}{10}x^{10} + \frac{5}{16}x^8 - \frac{x^6}{6} - \frac{1}{8}x^4 \right]_0^2

= \frac{5618}{15}

En el siguiente gráfico se puede ver la superficie en celeste y la proyección en el plano xz en rojo. El vector normal lo tomamos en la dirección que va desde la superficie hacia el plano xz.

tp9_ej10c
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(x, x^3, z, x,0,2,z,0,x+x^3),
color = "red",
reparametrize(x, 0, z, x,0,2,z,0,x+x^3)
);

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9 comentarios el “Tp.9 Ej.10.c

  1. Mauro dice:

    Damián, cómo llegaste a que el límite de integración inferior de x es 0? Entiendo que tiene que venir de que x + x^3 es mayor a 0, pero no lo veo en el ejercicio.

    Gracias,
    Mauro.

    PD: LaTeX sin preview es un suicidio!

    • damidami dice:

      Hola Mauro,
      La verdad no me acuerdo si el límite inferior lo había sacado algebraicamente o geométricamente (en base al gráfico).
      Tenés razón en que sale de x+x^3 \geq 0, ahí lo edité para aclarar eso.
      Con respecto al latex si bien no tiene preview tengo entendido que te deja editar el comentario para ver si quedaron bien las fórmulas, pasa que el primer comentario siempre lo tengo que aprobar de que no es spam, ya a partir del segundo podés editarlo.
      Saludos,
      Damián.

  2. Ramiro dice:

    Hola Damian, me quedo una duda, no deberias haber dividido por -1? tal como como en el ejercicio 12, el primero que aparece del TP 9 dividiste por G´y=1 para calcular el flujo, si no es asi, podrias explicarme por que? muchas gracias.

  3. Ramiro dice:

    gracias damian, si no me equivoco cuando se saca el vector normal parametrizando no hace falta, pero si se hace como en el ejercicio 12, que lo hiciste por implicitas y le sacaste el gradiente ahi si dividiste por la derivada parcial respecto por ejemplo si se proyecta sobre el plano xy se divide por la derivada parcial respecto de z en modulo, es asi puede ser?

  4. Javier dice:

    Hola Damian, estamos tratando de hacer con algunos compañeros el ejercicio 10 a) que pide el flujo y no podemos llegar nunca al resultado . Podras orientrarnos. Desde ya muchas gracias.

    • dami dice:

      Hola Javier,
      Ese es un ejercicio de cuentas muy largas, te recomiendo que una vez que plantees la integral la resuelvas con el wolframalpha para no perder mucho tiempo.
      Lo importante si lo hacés por flujo directo es no olvidarte de integrar la tapa y sumarlo al total.
      Por otro lado, ese ejercicio sale mucho más fácilmente utilizando el teorema de la divergencia (aunque en teoría en esa práctica todavía no lo vieron)
      Saludos,
      Damián.

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