Tp.7 Ej.3

Miércoles, noviembre 11th, 2009

Calcule la longitud de la trayectoria de una partícula que se mueve sobre la superficie de ecuación z=x^2 - 4y^2 desde el punto (1,2,-15) hasta el (3,1,5), si la proyección de su recorrido sobre el plano xy es el segmento de puntos extremos (1,2,0) y (3,1,0)

Solución:

Debemos parametrizar la curva, a partir de la proyección podemos calcular un plano que debe contener a la curva, primero vamos a parametrizar el segmento de recta de la proyección:

r(t) = (1,2,0) + t(2, -1, 0) con 0 \leq t \leq 1
= (1+2t, 2-t, 0)
Ahora encontramos su ecuación cartesiana:
x = 1+2t
y = 2-t
de la segunda ecuación:
t = 2-y
en la primera:
x = 1+2(2-y)
= 1 + 4 - 2y
= 5 - 2y
por lo tanto:
x + 2y = 5
es la ecuación cartesiana de un plano que contiene a la curva.
Entre este plano y la superficie parametrizamos la curva:

C(t) = (5-2t,t, (5-2t)^2 - 4t^2) con 1 \leq t \leq 2
= (5-2t, t, 25 - 20t + 4t^2 - 4t^2)
= (5-2t, t, 25 - 20t)

Lo cual nos indica que la trayectoria se trata de un segmento de recta.
Debemos notar que con esta parametrización estamos recorriendo la curva en el sentido contrario, es decir desde B=(3,1,5) hasta A=(1,2,-15), pero como lo que queremos calcular es la longitud de la trayectoria, esta no depende de la orientación.

Ahora construimos el diferencial de arco de curva:
C'(t) = (-2,1,-20)
|C'(t)| = \sqrt{4 + 1 + 400}
= 9\sqrt{5}

Por lo tanto la longitud de la trayectoria es:

9\sqrt{5} \int_1^2 dt = 9\sqrt{5}

El siguiente gráfico muestra la superficie en color rojo, el plano que calculamos a partir de la proyección en celeste, y en azul la curva intersección, de la cual calculamos la longitud.

tp7_ej3
draw3d(
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
surface_hide = true,
color = "light-red",
parametric_surface(x,y,x^2 - 4*y^2, x,1,3,y,1,2),
color = "light-blue",
parametric_surface(5-2*v,v,u, u,-15,5,v,1,2),
color = "blue", line_width = 3,
parametric(5-2*t, t, 25-20*t, t,1,2)
);

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