Tp.3 Ej.11

Sea f(x,y) = x^3/(x^2+y^2) si (x,y) \neq (0,0), f(0,0)=0.

a) Demuestre que f es continua en el origen.

b) ¿Puede analizar le límite acercándose al origen por la línea de nivel 1 de f?

Solución:

a) Probamos por polares:

\lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^3 \cos^3(\phi)}{\rho^2} = \rho \cos^3(\phi) = 0

por lo tanto es contínua en el origen.

b) La curva de nivel 1 de f son los (x,y) \in \mathbb{R}^2 tales que

\frac{x^3}{x^2+y^2} = 1

Cuando (x,y) \neq (0,0) se puede reescribir como:

x^3 = x^2 + y^2

xx^2 - x^2 = y^2

x^2(x-1) = y^2

por lo tanto debe cumplirse x-1 \geq 0 , por lo tanto

x \geq 1 en el entorno del (0,0), es decir que a pesar que esta curva contiene el punto (0,0), el mismo no es punto de acumulación de la curva, por lo tanto no puedo utilizarla para analizar dicho límite.  (Vale la aclaración de que la curva de nivel original no contenía el (0,0)).

A continuación pongo el gráfico de la curva definida implícitamente como x^3 = x^2 + y^2, donde puede verse que la misma no pasa por el entorno del origen de coordenadas.
tp3_ej11

load(implicit_plot);
implicit_plot (x^3 = x^2 + y^2, [x, -4, 4], [y, -4, 4],
[gnuplot_preamble, "set zeroaxis"]
);

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