Archivos de la categoría ‘TP09 – Integrales de Superficie y Flujo

Tp.9 Ej.12

Lunes, julio 25th, 2011

Calcule el flujo del gradiente de f(x,y,z) = x+y+zg(x-y) a través de x+y=4 en el 1º octante, con 0 \leq z \leq 8. Suponga g \in C^1

Solución:

f(x,y,z) = x+y+zg(x-y)
\nabla f = ( 1+ z g'(x-y),  1- zg'(x-y), g(x-y) )

Voy a calcular el flujo usando el método de la función implícita: Defino
g(x,y,z) = x+y-4
Entonces la superficie equivale al conjunto de nivel 0 de g. Su gradiente es:
\nabla g(x,y,z) = (1,1,0)
Proyecto sobre el plano coordenado xz, entonces divido por g'_y = 1 y me queda
n = (1,1,0)

El producto escalar entre el campo y el vector normal
\nabla f \cdot n = 1 + zg'(x-y) + 1- zg'(x-y) = 2

Entonces el flujo pedido es
2 \int_0^4 dx \int_0^8 dz = 64
donde la orientación de la superficie es tal que n \cdot (1,0,0) = 1 > 0

En el siguiente gráfico se puede ver la superficie en color azul, y su proyección sobre el plano xz en color negro.


draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="blue",
parametric_surface(x,4-x,z, x,0,4, z,0,8),
color="black",
parametric_surface(x,0,z, x,0,4, z,0,8)
);

Tp.9 Ej.13

Miércoles, octubre 6th, 2010

Sea S un trozo de superficie de ecuación z = y^2 - x^2 cuya proyección sobre el plano xy es la región D. Sea g(x,y,z) = z - h(xy) con h \in C^1, demuestre que el flujo de \nabla g a través de S es proporcional al área de D.

Solución:

Lo importante de este ejercicio es notar que h depende de una sola variable, ya que el enunciado dice h(xy) y no h(x,y), es decir se trata de una compuesta de h(t) con el campo escalar f(x,y) = xy

Calculamos su gradiente:
\nabla g(x,y,z) = (-h' \cdot y, - h' \cdot x, 1)

El normal de la superficie S gráfica de w(x,y) = y^2-x^2 lo obtenemos haciendo:
N = (-w'_x, -w'_y, 1)
= (2x, -2y, 1)

Al hacer el producto escalar \nabla g \cdot N obtenemos
\nabla g \cdot N = (-h' \cdot y, - h' \cdot x, 1) \cdot (2x, -2y, 1)
= -2xy h' + 2xy h' + 1
= 1

Por lo tanto el flujo pedido es
\iint_D g \cdot dS = \iint_D 1 \ dA = Area(D)
por lo tanto equivale al área de la región D (y es proporcional a la misma, con constante de proporcionalidad k=1).

Tp.9 Ej.5.g

Jueves, diciembre 17th, 2009

Calcule el área de las siguientes superficies:

g) Superficie de ecuación z = x^2 - y con |y| < x, x < 1

Solución:

Parametrizo la superficie como:
S(x,y) = (x,y,x^2-y)
De la primer restricción:
-x < y < x
se desprende que x > 0
La segunda restricción es:
x < 1

Busquemos el vector normal:
S'_x = (1,0,2x)
S'_y = (0,1,-1)
N = S'_x \wedge S'_y = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 2x \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right|
= (-2x,1,1)
Su norma es:
|N| = \sqrt{4x^2 + 1 +1}
= \sqrt{4x^2 +2}

Por lo tanto, el área de la superficie viene dada por
\int_0^1 \sqrt{4x^2 +2} dx \int_{-x}^{x} dy
2 \int_0^1 x\sqrt{4x^2 + 2}dx

Resolvemos la integral indefinida
\int x\sqrt{4x^2 + 2}dx
Si u = 4x^2 + 2
du = 8x dx
\frac{1}{8}\int \sqrt{u}du
= \frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{3/2} + c
= \frac{1}{12} (4x^2+2)^{3/2} + c

Finalmente, el área pedida es
2 \left[ \frac{1}{12} (4x^2+2)^{3/2} \right]_0^1
2 \left[ \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{6} \right]
=  \sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 1.97808...

El gráfico de la superficie S es

reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
reparametrize(x, y, x^2-y, x,0,1,y,-x,x)
);

Tp.9 Ej.5.f

Jueves, diciembre 17th, 2009

Calcule el área de las siguientes superficies:

f) Superficie frontera del cuerpo definido por x^2 + y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq \sqrt{x^2+y^2}

Solución:

Vamos a dividir la superficie en 3 “caras” que tiene el cuerpo.
S_1 va a ser el “piso” que es el círculo unitario en z=0
S_1(x,y) = (x,y,0) con x^2 + y^2 \leq 1, su área es Area(S_1) = \pi (como no pide explícitamente que lo calculemos mediante integrales, usamos la fórmula conocida \pi r^2 con r=1)

S_2 va a ser la “pared” que es el cilindro de radio 1 y altura 1, su área es Area(S_2) = 2\pi (con la fórmula 2\pi r h, con r=h=1)

S_3 va a ser el “techo” que vendría a ser la parte del cono, parametrizando la superficie S_3 como:
S_3(\rho, \phi) = (\rho\cos(\phi), \rho\sin(\phi), \rho), con
0 \leq \phi \leq 2\pi
0 \leq \rho \leq 1
Los vectores tangentes son:
(S_3)'_{\phi} = (-\rho\sin(\phi), \rho\cos(\phi), 0)
(S_3)'_{\rho} = (\cos(\phi), \sin(\phi), 1)
El vector normal es:
N = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ -\rho\sin(\phi) & \rho\cos(\phi) & 0 \\ \cos(\phi) & \sin(\phi) & 1 \end{matrix} \right|
= (\rho\cos(\phi), \rho\sin(\phi), -\rho)
Su norma es:
|N|  = \sqrt{\rho^2 + \rho^2}
= \sqrt{2}\rho

Por lo tanto el área de S_3 es:
\sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho d\rho
Area(S_3) = \sqrt{2}\pi

Finalmente, el área de la superficie pedida S es igual a la suma de las 3 “caras” que calculamos:
Area(S) = 3\pi + \sqrt{2}\pi

El gráfico del cuerpo cuya frontera es la superficie S es:


draw3d(
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
surface_hide = true,
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), u, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi),
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 0, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi),
parametric_surface(cos(v), sin(v), u, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi)
);

Tp.9 Ej.5.b

Domingo, diciembre 6th, 2009

Calcule el área de las siguientes superficies:

b) Trozo de semicono z = \sqrt{2x^2 + 2y^2} interior a la esfera de radio 12 con centro en \vec{0}

Solución:

La ecuación de la esfera es:
x^2 + y^2 + z^2 = (12)^2

Calculo la intersección con el semicono:
x^2 + y^2 + 2x^2 + 2y^2 = (12)^2
x^2 + y^2 = 48

Por lo tanto se intersecta en una circunferencia de radio 4 \sqrt{3}
Reemplazando en el cono tenemos que está contenida en el plano z = 4\sqrt{6}.

Por lo tanto parametrizamos el semicono de la siguiente manera: (tomando “polares” entre las variables x e y)

S(u,v) = (u \cos(v), u \sin(v), \sqrt{2} u)
0 \leq u \leq 4 \sqrt{3}
0 \leq v \leq 2\pi

Ahora calculamos el vector normal:

S'_u = (\cos(v), \sin(v), \sqrt{2})
S'_v = (-u\sin(v), u\cos(v), 0)

N = S'_u \wedge S'_v = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ \cos(v) & \sin(v) & \sqrt{2} \\ -u\sin(v) & u\cos(v) & 0 \end{matrix} \right|

= (-\sqrt{2}u\cos(v), -\sqrt{2}u\sin(v), u)

La norma del vector normal es:
|N| = \sqrt{2u^2\cos^2(v) + 2u^2\sin^2(v) + u^2}
= \sqrt{2u^2 + u^2}
= \sqrt{3}u

Por lo tanto el área pedida (del semicono) es:

\sqrt{3} \int_0^{2\pi} dv \int_0^{4\sqrt{3}} u \ du = 48\sqrt{3}\pi

En el siguiente gráfico se puede ver el semicono en azul, y la esfera en celeste (se graficó abierta para que pueda verse el semicono en su interior)


draw3d(
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
surface_hide = true,
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), sqrt(2)*u, u, 0, 4*sqrt(3), v, 0, 2*%pi),
color = "light-blue",
parametric_surface(12*cos(u)*sin(v), 12*sin(u)*sin(v), 12*cos(v), u, 0, 2*%pi*0.75, v, 0, %pi)
);

Tp.9 Ej.7

Viernes, noviembre 27th, 2009

Sea \vec{F} = k \hat{n} con {k > 0} constante, demuestre que \iint_S \vec{F} \cdot \hat{n} d\sigma = F \ area(S) con F = ||\vec{F}||.

(Flujo de campo con módulo constante, con igual orientación que la superficie en cada punto)

Solución:

\iint_S \vec{F} \cdot \hat{n} d\sigma

= \iint_S k \hat{n} \cdot \hat{n} d\sigma

Puesto que \hat{n} \cdot \hat{n} = ||\hat{n}||^2 \cos(0) = 1 por tratarse de un mismo versor:

= k \iint_S d\sigma

Por ser F = ||\vec{F}|| = k||\hat{n}|| = k

= F \ area(S)

Tp.9 Ej.10.c

Sábado, noviembre 14th, 2009

Calcule el flujo de f a través de S, indicando gráficamente la orientación del versor normal que ha elegido, o bien que se le solicite en cada caso.

c) f(x,y,z) = (xy, zx, y-xz^2) a través del trozo de superficie cilíndrica de ecuación y = x^3 con 0 \leq z \leq x+y, x+y \leq 10.

Solución:

Primero parametricemos la superficie:

S(x,z) = (x,x^3,z)

Su vector normal es:

N = S'_x \wedge S'_z = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 3x^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right|
= (3x^2, -1, 0)

De la primer restricción:
0 \leq z \leq x + x^3

De la segunda restricción:
x + x^3 \leq 10

por tanteo, podemos ver que se cumple que x \leq 2

Además, de la primer restricción
x + x^3 \geq 0

De donde se desprende que x \geq 0

Por lo tanto el flujo pedido es:

\iint_S f(S(x,z)) \cdot N dxdz
\int_0^2 dx \int_0^{x+x^3} (x^4, zx, x^3-xz^2) \cdot (3x^2, -1, 0) dz
\int_0^2 dx \int_0^{x+x^3} 3x^6 - zx dz
\int_0^2 dx \left[ 3x^6z - \frac{z^2}{2}x \right]_0^{x+x^3}

\int_0^2 3x^6(x+x^3) - \frac{(x+x^3)^2}{2}x dx

\int_0^2 3x^7 + 3x^9 - \frac{1}{2}x^3 - x^5 - \frac{1}{2}x^7 dx

\int_0^2 3x^9 + \frac{5}{2}x^7 - x^5 - \frac{1}{2}x^3 dx

\left[ \frac{3}{10}x^{10} + \frac{5}{16}x^8 - \frac{x^6}{6} - \frac{1}{8}x^4 \right]_0^2

= \frac{5618}{15}

En el siguiente gráfico se puede ver la superficie en celeste y la proyección en el plano xz en rojo. El vector normal lo tomamos en la dirección que va desde la superficie hacia el plano xz.

tp9_ej10c
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(x, x^3, z, x,0,2,z,0,x+x^3),
color = "red",
reparametrize(x, 0, z, x,0,2,z,0,x+x^3)
);

Tp.9 Ej.5.a

Sábado, noviembre 14th, 2009

Calcule el área de las siguientes superficies:

a) Trozo de cilindro z = 2x^2 con y \leq x, z \leq 6, 1º octante.

Solución:

Primero parametricemos la superficie:

S(x,y) = (x,y,2x^2)

Como z \leq 6 debe cumplirse que:
2x^2 \leq 6
x^2 \leq 3
0 \leq x \leq \sqrt{3} (x es positiva por estar en el 1º octante)

Busquemos el vector normal a la superficie:

N = S'_x \wedge S'_y = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 4x \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right|
= (-4x, 0, 1)

Por lo tanto su norma es:

|N| = \sqrt{16x^2 + 1}

Finalmente, la integral de superficie nos queda:

\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{16x^2+1} dx \int_0^x dy

\int_0^{\sqrt{3}} x \sqrt{16x^2+1} dx

Si u = 16x^2+1
du = 32x dx

\frac{1}{32} \int \sqrt{u} du = \frac{1}{32} \frac{2}{3} (16x^2+1)^{3/2} + c

Por lo tanto, el área de la superficie es

\left[ \frac{1}{48} (16x^2+1)^{3/2} \right]_0^{\sqrt{3}}

= \frac{343}{48} - \frac{1}{48} = \frac{57}{8}

En el siguiente gráfico se puede observar la superficie en color celeste, y la proyección sobre el plano xy en rojo:

tp9_ej5a
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(x, y, 2*x^2, x,0,sqrt(3),y,0,x),
color = "red",
reparametrize(x, y, 0, x,0,sqrt(3),y,0,x)
);

Tp.9 Ej.10.d

Sábado, noviembre 14th, 2009

Calcule el flujo de f a través de S, indicando gráficamente la orientación del versor normal que ha elegido, o bien que se le solicite en cada caso.

d) f(x,y,z) = (y,x,y) \wedge (x,z,y) a través del trozo de plano tangente a la superficie de ecuación z=x^2 - yx^3 en el punto (1,2,-1) con (x,y) \in [0,2] \times [1,3].

Solución:

Primero desarrollamos el campo vectorial:

f(x,y,z) = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ y & x & y \\ x & z & y \end{matrix} \right| = (xy-yz, yx - y^2, yz-x^2)

Ahora buscamos el plano tangente a la superficie.
Defino:
G(x,y,z) = x^2 - yx^3 - z

\nabla G = (2x - 3yx^2, -x^3, -1)

Por lo tanto un vector normal al plano tangente es:
\nabla G(1,2,-1) = (-4, -1, -1)

El plano tangente es:
(x-1,y-2,z+1)(4,1,1) = 0
4x-4 + y-2 + z+1 = 0
4x + y + z = 5
z = 5-4x-y

Parametrizamos con respecto a xy:
S(x,y) = (x,y, 5 - 4x - y)
0 \leq x \leq 2
1 \leq y \leq 3

Buscamos el normal a partir de la parametrización:
S'_x = (1,0,-4)
S'_y = (0,1,-1)

N = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right| = (4, 1, 1)

También podríamos haber obtenido el vector normal con la misma orientación de la siguiente forma:

N = -\frac{\nabla G}{|G'_z|} = \frac{-(-4,-1,-1)}{|-1|} = (4,1,1)

Ahora componemos el campo vectorial con la superficie:
f(S(x,y)) = (xy-y(5-4x-y), yx - y^2, y(5-4x-y)-x^2)
= (xy-5y+4xy+y^2, yx - y^2, 5y - 4xy - y^2 -x^2)
= (-5y+5xy+y^2, yx - y^2, 5y - 4xy - y^2 -x^2)

Entonces el flujo pedido es:

\int_0^2 dx \int_1^3 (-5y+5xy+y^2, yx - y^2, 5y - 4xy - y^2 -x^2) (4,1,1) dy

\int_0^2 dx \int_1^3 -20y+20xy+4y^2 + yx - y^2 + 5y - 4xy - y^2 -x^2 dy

\int_0^2 dx \int_1^3 -15y + 17xy + 2y^2 -x^2 dy

\int_0^2 dx \left[ \frac{-15}{2}y^2 + \frac{17}{2}xy^2 + \frac{2}{3}y^3 - x^2y \right]_1^3

\int_0^2 dx \left( \frac{-135}{2} + \frac{153}{2}x + \frac{54}{3} - 3x^2 - (\frac{-15}{2} + \frac{17}{2}x + \frac{2}{3} - x^2) \right)

\int_0^2 dx \left( \frac{-99}{2} + \frac{153}{2}x - 3x^2 + \frac{41}{6} - \frac{17}{2}x + x^2 \right)

\int_0^2 \frac{-128}{3} + \frac{153}{2}x - 3x^2 - \frac{17}{2}x + x^2 dx

\int_0^2 \frac{-128}{3} + 68x - 2x^2 dx

\left[ \frac{-128}{3}x + 34x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^2

\left( \frac{-256}{3} + 136 - \frac{16}{3} \right)

= \frac{136}{3}

El siguiente es el gráfico de la superficie y del plano tangente. El vector normal lo tomamos con todos los componentes positivos, por lo tanto es hacia “arriba”, o sea N \cdot k > 0.

tp9_ej10d
draw3d(
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
surface_hide = true,
color = "light-blue",
parametric_surface(x,y,x^2 - y*x^3, x,0,2,y,1,3),
color = "blue",
parametric_surface(x,y,5-4*x-y, x,0,2,y,1,3),
color = "red", line_width = 4,
parametric(1,2,-1,t,0,1)
);

Tp.9 Ej.5.c

Martes, junio 23rd, 2009

Calcule el área de las siguientes superficies:
c) Trozo de cilindro x^2 + z^2 = 4 con -x \leq y \leq x, z \geq 0

Solución:
Es una superficie cilíndrica de radio 2 sobre el eje y.
Partiendo de las coordenadas cilíndricas:
x = \rho \cos(\phi)
y = y
z = \rho \sin(\phi)

podemos parametrizar nuestra superficie como:
S(u,v) = (2 \cos(u), v, 2 \sin(u))
Sus vectores tangentes son:
S'_u = (-2 \sin(u), 0, 2 \cos(u))
S'_v = (0, 1, 0)
Su producto vectorial:
S'_u \times S'_v = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ -2 \sin(u) & 0 & 2 \cos(u) \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right| = i(-2\cos(u)) - j(0) + k(-2\sin(u))
= (-2\cos(u), 0, -2\sin(u))
Su norma es:
|N| = \sqrt{4 \cos^2(u) + 4 \sin^2(u)} = 2

Ahora nos falta encontrar los límites de integración. Transformamos las restricciones originales:
-2\cos(u) \leq v \leq 2\cos(u)
2\sin(u) \geq 0

de la segunda restricción:
0 \leq u \leq \pi

Pero como -x \leq y \leq x entonces x \geq 0 por lo tanto 2\cos(u) \geq 0 o sea que en definitiva nos queda:
0 \leq u \leq \frac{\pi}{2}

El gráfico de la superficie es:
tp9_ej5c_bis
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(2*cos(u),v,2*sin(u),u,0,%pi/2,v,-2*cos(u),2*cos(u))
);

Reemplazando todo en la integral:
2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} du \int_{-2\cos(u)}^{2\cos(u)} dv

2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4 \cos(u) du

8 [\sin(u)]_0^{\pi/2} = 8(1-0) = 8