Tp.9 Ej.13

Sea S un trozo de superficie de ecuación z = y^2 - x^2 cuya proyección sobre el plano xy es la región D. Sea g(x,y,z) = z - h(xy) con h \in C^1, demuestre que el flujo de \nabla g a través de S es proporcional al área de D.

Solución:

Lo importante de este ejercicio es notar que h depende de una sola variable, ya que el enunciado dice h(xy) y no h(x,y), es decir se trata de una compuesta de h(t) con el campo escalar f(x,y) = xy

Calculamos su gradiente:
\nabla g(x,y,z) = (-h' \cdot y, - h' \cdot x, 1)

El normal de la superficie S gráfica de w(x,y) = y^2-x^2 lo obtenemos haciendo:
N = (-w'_x, -w'_y, 1)
= (2x, -2y, 1)

Al hacer el producto escalar \nabla g \cdot N obtenemos
\nabla g \cdot N = (-h' \cdot y, - h' \cdot x, 1) \cdot (2x, -2y, 1)
= -2xy h' + 2xy h' + 1
= 1

Por lo tanto el flujo pedido es
\iint_D g \cdot dS = \iint_D 1 \ dA = Area(D)
por lo tanto equivale al área de la región D (y es proporcional a la misma, con constante de proporcionalidad k=1).

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