1er parcial (Amed – 14/10/2011)

Pongo algunos resultados:

T2) b)
N = F'_u(\sqrt{2}, \pi/4) \wedge F'_v(\sqrt{2}, \pi/4) = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, \sqrt{2}) \neq (0,0,0)
por lo tanto P_0 = (1,1,2) es un punto regular de la superficie.
Plano tangente:
[(x,y,z) - (1,1,2)] \cdot (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, \sqrt{2}) = 0

Ecuación cartesiana de la superficie:
z = 4-x^2-y^2

P1) Queda \nabla h(1,1) = (4\pi^2 - 6, 2\pi^2 - 6)
h'_{min}(1,1) = - ||\nabla h(1,1)||
\hat{u}_{min} = - \frac{\nabla h(1,1)}{||\nabla h(1,1)||}

P2) Dm(f) = \mathbb{R}^2
No existe el límite (alcanza probar con rectas)
las derivadas valen
f'((2,0),(a,b)) = \begin{cases} b & si \ a=0 \\ 0 & si \ b=0 \\ \not\exists & \forall otro \ (a,b) \end{cases}

P3) Dm(f) = \mathbb{R}^2
f'((0,0), (a,b)) = \begin{cases} a^2 b & si b \neq 0 \\ 5a & si b=0 \end{cases}

f'((0,0),(1,1)/\sqrt{2}) \neq \nabla f(0,0) \cdot (1,1)/\sqrt{2}
Por lo tanto no es difereniable en (0,0)

P4) \nabla f(1,1) = (-3,-1)/5
El versor daba (-4,3)/5 y la derivada 11/25
Recta normal: (x,y,z) = (1,1,1) + t(-3/5, -1/5, -1) con t \in \mathbb{R}
Intersecta al plano en P = (2,4,0)/5

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