1ER PARCIAL ANÁLISIS MATEMÁTICO II VERANO 2018
Solución: (de la práctica, las demostraciones se vieron en clase)
T1)
a) Nos dan con
Hay que verificar que
Derivando parcialmente
Luego
b) es el Taylor de grado 2 asociado a en .
Queremos que admita extremo local en y clasificarlo.
Como , entonces también. Luego los puntos críticos son estacionarios, es decir el gradiente se anula. Como queremos que sea crítico
Del Taylor sabemos que
Reemplazando
Es decir debe cumplirse que , y que .
Para clasificarlo calculemos el hessiano. Necesitamos las derivadas segundas de que coinciden con las de , y podemos obtener del Taylor
Luego
por el criterio del hessiano, es mínimo relativo.
T2)
b) Dada , hay que probar que en el punto resulta es perpendicular.
Sea . Entonces , en particular
Parametrizamos la elipse con con
Sea tal que .
Sea . Por ser constante , por otro lado por la regla de la cadena . Es decir que
Es decir donde es vector tangente a la elipse. Igual la idea es hacer un dibujito de la elipse y las rectas normal y tangente como sigue.
La recta normal viene dada por
La recta tangente viene dada por tal que es decir , luego la recta tangente es de ecuación
Y el dibujito nos queda así
P1)
Veamos si es contínua en . Debería existir el límite, a ver si es cierto
Veamos que pasa por la recta de ecuación
Luego no es continua en pues el límite debería ser igual a . Por lo tanto tampoco es diferenciable en
Veamos que onda las derivadas direccionales
La única forma que exista este límite es que (sino daría , pero para las derivadas exigimos limites reales).
Es decir las únicas direcciones en las que es derivable son y , en donde vale
Dibujín de la gráfica de
Se ve que algo raro pasa en el punto (el eje está en rojo, el eje en verde, y el eje en azul)
P2) La parametrización mas directa es considerar la como un parámetro , es decir , con . Cláramente (sus coordenadas son polinomios), y además . Esto nos dice que es una parametrización regular.
Averiguemos tal que . Fácil, . Luego es vector tangente a la curva en . Luego la recta tangente es de ecuación
Dibujo todo con el geogebra:
La curva está en verde fluorescente y bien gordita. El punto está marcado como . La recta tangente en azul clarito. Y las superficies en amarillo y rosita transparente.
P3)
La familia de líneas de nivel (curvas de nivel) viene dada por
busco la familia ortogonal, para eso primero busco la EDO
divido por 2
ok, esa es la EDO. Ahora busco la EDO de la familia ortogonal. Para eso cambio por
multiplico por
y ahora la resuelvo para encontrar la familia ortogonal. Primero separo variables
bien, ahí separé variables. Ahora integramos
esa es la familia ortogonal buscada.
Veamos que curvas pasan por el . De la primer familia obtenemos , es decir sólo pasa
(una elipse)
De la segunda familia obtenemos , por lo tanto hay una curva y es esta
(una parábola)
Ahora graficamos todo
En azul está la elipse, y en rojo la parábola. El punto se indica como . En negro las rectas tangentes a cada una (que son las normales de la otra respectivamente). Y si uno presta atención, con trazo muy finito hay otras curvas de ambas familias.
P4)
a) Nos dan , con .
De nos dicen que es y que el taylor de 2do grado en es .
Nos piden una derivada direccional de , que es diferenciable por ser composición de diferenciables. Entonces me interesa calcular usando la regla de la cadena. Vemos que . Luego
Por otro lado
(Tal vez sería mejor llamar al taylor para que no haya confusión con los valores de de , se entiende que no hay relación.)
Luego nos queda
La dirección que va del hacia el es
Luego la derivada pedida es
b) La función está definida implícitamente por la ecuación .
Hay que determinar la ecuación del plano tangente a la gráfica de en el punto .
Sea
Verifico que el punto esté en el conjunto de nivel cero.
No hace falta usar Cauchy-Dini, alcanza con usar que el gradiente de es normal al conjunto de nivel cero de en , pues la gráfica de coincide con el conjunto de nivel cero de en las cercanias del punto en cuestión.
Luego un vector normal es
Otro normal mas lindo por no tener denominadores es .
Luego la ecuación del plano tangente pedido es
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