Archivos de la categoría ‘TP02 – Topología

Tp.2 Ej.5.a

Jueves, enero 20th, 2011

Represente geométricamente los conjuntos de nivel de los siguientes campos escalares:

a) f(x,y) = xy-2

Solución:

Las curvas de nivel viene a ser el conjunto

C_k = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 / xy-2 = k\}

Es decir vienen dadas por la ecuación implícita

xy-2 = k
con k \in \mathbb{R}

luego,
xy = k+2

Si k=-2 representa los ejes cartesianos.
Si k \neq -2 y x \neq 0
y = \frac{k+2}{x}
representa hipérbolas (rotadas)
Si k \neq -2 y x = 0 no se satisface la ecuación, y con este ya vimos todos los casos posibles.

El gráfico de las curvas de nivel es


WolframAlpha: contour plot xy-2

Tp.2 Ej.1.f

Jueves, enero 20th, 2011

Reconozca los siguientes conjuntos de puntos y grafíquelos. En cada caso analice si el conjunto es cerrado, abierto, acotado; indique cuales son sus puntos interiores, frontera y exteriores.

f) Puntos del plano en el 1º cuadrante tales que y > x^2 - x, y \leq 2

Solución:

Llamo R a la región.

Puntos interiores:
PI = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 / (y > x^2 - x) \wedge (y < 2) \}

Puntos exteriores:
PE = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 / (x<0) \vee (y 2) \vee (y < x^2 - x) \}

Puntos frontera:
PF = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 / (x,y) = (0,u) con 0 \leq u \leq 2
\vee \ (x,y)=(v,0) con 0 \leq v \leq 1
\vee \ (x,y)=(w,w^2-w) con 1 \leq w \leq 2
\vee \ (x,y)=(t,2) con 0 \leq t \leq 2 \}

No es abierto pues A_0 = (1,2) es punto frontera y pertenece a la región.
No es cerrado pues A_1 = (\frac{3}{2}, \frac{3}{4}) es punto frontera y no petenece a la región.
Es acotado pues E(\vec{0}, 5) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 / x^2 + y^2 < 5\} contiene a la región.

Tp.2 Ej.1.b

Jueves, septiembre 24th, 2009

Reconozca los siguientes conjuntos de puntos y grafíquelos.  En cada caso analice si el conjunto es cerrado, abierto, acotado: indique cuales son sus puntos interiores, frontera y exteriores.

b) S = \{ (x,y) \in R^2 / |x-2|<1 \wedge y > |x| \}

Solución:

Estos problemas los vamos a tratar a partir de su representación geométrica.

De la primera inecuación:

|x-2|<1

x-2<1 \vee x-2 >-1

x <3 \vee x>1

x \in (1,3)

La segunda inecuación representa la sección del plano que está “arriba” de la función y = |x|

En el siguiente gráfico podemos ver las regiones determinadas por las dos inecuaciones. La intersección de ambas es la región S.
No es acotada puesto que diverge para los y positivos.
Como todos los puntos son interiores (no incluye los puntos frontera), entonces el conjunto es abierto.
No es cerrado puesto que el conjunto complemento incluye los puntos frontera.

tp2_ej1b
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = false,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(u, v, 0, u, 1, 3, v, -10, 10),
color = "green",
reparametrize(u, v, 0, u, 0, 10, v, u, 10),
reparametrize(u, v, 0, u, -10, 0, v, -u, 10)
);