Final 02/12/2014

final_02_12_2014

Gracias Nicolás por enviarme el final.  Estos días no voy a poder ir a las fechas de final, así que dependo de que me lo envíen de alguna forma para poder subirlo al blog.  Mi dirección de correo es dsilvestre@frba.utn.edu.ar.

Resumen de puntos en topología

Un tema que es complicado es el de las definiciones sobre los distintos tipos de puntos (interior, frontera, de clausura, de acumulación, etc) que encontramos en topología.

Se me ocurrió que podría ser útil escribirlo de esta manera.

Todas las definiciones tienen la misma estructura. Sea S \subseteq \mathbb{R}^n y x \in \mathbb{R}^n, entonces se llama punto (interior/exterior/frontera/aislado/de acumulación/etc) si (existe/para todo) / un (entorno/entorno reducido) / tal que (incluido/ intersección vacía / intersección no vacía / etc).

Comenzemos por ponerle una numeración a cada opción posible.

Cuantificador
(1) \exists
(2) \forall
Entorno
(1) A = E(x,r)
(2) A = E^*(x,r)
Tal que
(1) A \subseteq S
(2) A \cap S \neq \emptyset
(3) A \cap (\mathbb{R}^n - S) \neq \emptyset
(4) A \subseteq (\mathbb{R}^n - S)

Tomemos por ejemplo la definición de punto interior. Un punto x \in \mathbb{R}^n es interior a un conjunto S \subseteq \mathbb{R}^n sii existe un entorno E(x,r) tal que E(x,r) \subseteq S . Con nuestra numeración podemos simbolizarlo como

Punto interior cumple que (1) (1) : (1)
(existe, un entorno, tal que está incluído en el conjunto S)

De la misma forma, escribimos los otros tipos de puntos que conocemos

Punto interior (1) (1) : (1)
Punto exterior (1) (1) : (4)
Punto frontera (2) (1) : (2) y (3)
Punto de clausura (o adherencia) (1) (1) : (2)
Punto de acumulación (1) (2) : (2)
Punto aislado (1) (2) : (4)

Introducción

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Suerte! 😀
Damián.