Archivos de la categoría ‘TP08 – Integrales Múltiples

Tp.8 Ej.6.a

Lunes, julio 25th, 2011

Resuelva los siguientes ejercicios usando el cambio de coordenadas indicado.
a) \iint_D (6-x-y)^{-1} dxdy, D : |x+y| \leq 2 \wedge y \leq x+2 \leq 4, usando (x,y) = (v, u-v)

Solución:

La transformación a usar es
(x,y) = t(u,v) = (v, u-v)

Calculamos el jacobiano
Dt = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\det(Dt) = -1
|\det(Dt)| = |-1| = 1
Entonces
dxdy = dudv

Ahora transformamos la región de integración
|x + u-v| \leq 2
y \leq x+2 \leq 4

|v + u-v| \leq 2
|u| \leq 2
-2 \leq u \leq 2

u-v \leq v+2 \leq 4
\frac{u-2}{2} \leq v \leq 2

Por lo tanto la región de integración se transforma en
-2 \leq u \leq 2
\frac{u-2}{2} \leq v \leq 2

Ahora transformamos el integrando
(6-x-y)^{-1}
(6-v -u+v)^{-1}
(6 - u)^{-1}

Juntando todo
\int_{-2}^{2} (6 - u)^{-1} du \int_{\frac{u-2}{2}}^2 dv
\int_{-2}^{2} (6 - u)^{-1} (2 - \frac{u-2}{2} )  du
\int_{-2}^{2} (6 - u)^{-1} (\frac{4-u+2}{2} )  du
\int_{-2}^{2} (6 - u)^{-1} (\frac{6-u}{2} )  du
\int_{-2}^{2} \frac{1}{2}  du
= \frac{1}{2}(2 - (-2)) = 2

Tp.8 Ej.10.f

Martes, diciembre 15th, 2009

Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.

f) H definido por x^2 + z^2 \leq 9, y \geq 2x, y \leq 2x + 4

Solución:

Como la primer restricción corresponde al interior de un cilíndro de radio 3 sobre el eje y, vamos a usar coordenadas cilíndricas sobre dicho eje:
T: \begin{cases} x = \rho \cos(\phi) \\ y = y \\ z = \rho \sin(\phi) \end{cases}
|J| = \rho

Por lo tanto el volumen del cuerpo H es:

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^3 \rho d\rho \int_{2 \rho \cos(\phi)}^{2\rho\cos(\phi) + 4} dy

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^3 \rho d\rho [2\rho\cos(\phi) + 4 - 2\rho\cos(\phi)]

4 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^3 \rho d\rho

8 \pi \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_0^3

= 36 \pi \approx 113,097...

El siguiente es el gráfico del cuerpo H


reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v), 2*u*cos(v), u*sin(v), u, 0, 3, v, 0, 2*%pi),
parametric_surface(u*cos(v), 2*u*cos(v)+4, u*sin(v), u, 0, 3, v, 0, 2*%pi),
reparametrize(x, y, sqrt(9-x^2), x, -3, 3, y, 2*x, 2*x+4),
reparametrize(x, y, -sqrt(9-x^2), x, -3, 3, y, 2*x, 2*x+4)
);

Tp.8 Ej.7.a

Sábado, diciembre 12th, 2009

Calcule el área de la región plana limitada por las curvas de niveles e^4 y e^8 de f(x,y) = e^{x^2 + 2y^2}

Solución:

El área queda limitada por las curvas:

e^{x^2 + 2y^2} = e^4
y
e^{x^2 + 2y^2} = e^8

aplicando logaritmo:

x^2 + 2y^2 = 4
y
x^2 + 2y^2 = 8

Uso un sistema de coordenadas parecido a polares:
x = \sqrt{2} \rho \cos(\phi)
y = \rho \sin(\phi)

El jacobiano es:
|J| = \left| \begin{matrix} \sqrt{2}\cos(\phi) & -\sqrt{2}\rho\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & \rho \cos(\phi) \end{matrix} \right|
= \sqrt{2} \rho

Por lo tanto el área pedida es:

\sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\phi \int_{\sqrt{2}}^{2} \rho d\rho

2 \sqrt{2} \pi \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{\sqrt{2}}^{2}

= 2 \sqrt{2} \pi

El gráfico de la región plana es:


draw2d(
parametric(2*cos(t), sqrt(2)*sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(sqrt(8)*cos(t), sqrt(4)*sin(t), t, 0, 2*%pi)
);

Tp.8 Ej.2.e

Sábado, diciembre 12th, 2009

Calcule las siguientes integrales en ambos órdenes de integración y verifique que los resultados coinciden.

e) \int_0^1 dx \int_0^x (x+y) dy + \int_1^4 dx \int_0^1 (x+y) dy

Solución:
\int_0^1 dx \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^x + \int_1^4 dx \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^1

\int_0^1 x^2 + \frac{x^2}{2} dx + \int_1^4 x + \frac{1}{2} dx

\left[ \frac{x^3}{2} \right]_0^1 + \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x \right]_1^4

\frac{1}{2} + (10 - 1)

= \frac{19}{2}

En el otro orden:

\int_0^1 dy \int_y^1 (x+y) dx + \int_0^1 dy \int_1^4 (x+y) dx

\int_0^1 dy \left[ \frac{x^2}{2} + yx \right]_y^1 + \int_0^1 dy \left[ \frac{x^2}{2} + yx \right]_1^4

\int_0^1 \frac{1}{2} + y - (\frac{y^2}{2} + y^2) dy + \int_0^1 8 + 4y - (\frac{1}{2} + y) dy

\int_0^1 -\frac{3}{2}y^2 + y + \frac{1}{2} dy + \int_0^1 3y + \frac{15}{2} dy

\left[ -\frac{1}{2}y^3 + \frac{y^2}{2} + \frac{y}{2} \right]_0^1 + \left[ \frac{3y^2}{2} + \frac{15}{2}y \right]_0^1

= \frac{19}{2}

El gráfico de la región es:


draw2d(
parametric(t, t, t, 0, 1),
parametric(t, 1, t, 1,4)
);

Tp.8 Ej.1.f

Sábado, diciembre 12th, 2009

Calcule el área de las siguientes regiones planas mediante integrales dobles; se recomienda no aplicar propiedades de simetría, plantee los límites para toda la región.

f) D: conjunto donde son positivas las componentes de f(x,y) = (4-x^2-y^2, 2-x-y^2)

Solución:

Veamos para que región del plano xy se cumple que:

\begin{cases} 4 - x^2 - y^2 > 0 \\ 2 - x - y^2 > 0 \end{cases}

\begin{cases} 4 > x^2 + y^2 \\ 2 - y^2 > x \end{cases}

\begin{cases} x^2 + y^2 < 4 \\ x < 2 - y^2 \end{cases}

Representa el interior de una circunferencia de radio 2, limitado por una parábola.

Veamos donde se intersectan estas curvas:

\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x = 2 - y^2 \end{cases}

de la segunda restricción:
y^2 = 2-x
en la primera
x^2 + 2-x = 4
x^2 - x - 2 = 0
de donde sale que x_0 = 2 y x_1 = -1
Cuando x=2 tenemos que y = 0 y cuando x = -1 tenemos que y= \pm \sqrt{3}

Vamos a hacerlo en dos partes, el interior de la parábola en cartesianas:

A_1 = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} dy \int_{-1}^{2-y^2} dx

\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} 2 - y^2 - (-1) dy

\left[ 3y - \frac{y^3}{3} \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}

3\sqrt{3} - \sqrt{3} - (-3\sqrt{3} + \sqrt{3})
= 4\sqrt{3}

Y lo que queda del interior de la circunferencia, en polares, con x < -1

A_2 = \int_{2\pi/3}^{4\pi/3} d\phi \int_{\frac{-1}{\cos(\phi)}}^2 \rho d\rho

\int_{2\pi/3}^{4\pi/3} d\phi \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{\frac{-1}{\cos(\phi)}}^2

\int_{2\pi/3}^{4\pi/3} 2 - \frac{1}{2\cos^2(\phi)} d\phi

\left[2 \phi \right]_{2\pi/3}^{4\pi/3} - \frac{1}{2} \int_{2\pi/3}^{4\pi/3} \frac{1}{\cos^2(\phi)} d\phi

\frac{8 \pi}{3} - \frac{4 \pi}{3} - \frac{1}{2} \left[ \tan(\phi) \right]_{2\pi/3}^{4\pi/3}

\frac{4 \pi}{3} - \frac{1}{2} [ \sqrt{3} + \sqrt{3}]

\frac{4 \pi}{3} - \sqrt{3}

Finalmente el área pedida es la suma de las dos areas calculadas:

A = A_1 + A_2 = 3\sqrt{3} + \frac{4 \pi}{3}

El siguiente es el gráfico de la región:

draw2d(
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(2-t^2, t, t,-2,2)
);

Tp.8 Ej.10.g

Lunes, diciembre 7th, 2009

Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.

g) H definido por y \geq x^2, x^2 + y^2 \leq 2, z \geq 0, z \leq x.

Solución:

Como z \geq 0 y z \leq x tenemos también que x \geq 0, y como y \geq x^2 tenemos que y \geq 0, por lo tanto sabemos que el cuerpo se encuentra en el 1º octante.

Calculemos el valor máximo que puede tomar x intersectando
\begin{cases} y = x^2 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases}
y + y^2 = 2
y^2 + y - 2 = 0
De donde sale y_0 = 1 e y_1 = -2 (este último no nos interesa ya que no pertenece al 1º octante).
Reemplazando y_0 = 1 en la primer ecuación obtenemos x_0 = 1 en el 1º octante.

Por lo tanto el volúmen del cuerpo H es:

\int_0^1 dx \int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}} dy \int_0^x dz

\int_0^1 x (\sqrt{2-x^2} - x^2) dx

\int_0^1 x \sqrt{2-x^2} dx - \int_0^1 x^3 dx

Para resolver \int x \sqrt{2-x^2} dx, si
u = 2-x^2, entonces
du = -2x dx

\frac{-1}{2} \int \sqrt{u} du = \frac{-1}{3} (2-x^2)^{3/2}

Retomando nuestra integral:
\left[ \frac{-1}{3}(2-x^2)^{3/2} \right]_0^1 - \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1
= \frac{-1}{3} - \frac{-2\sqrt{2}}{3} - (\frac{1}{4})
= \frac{2}{3}\sqrt{2} - \frac{7}{12}

El siguiente es el gráfico del cuerpo H:

reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
reparametrize(x, y, x, x, 0, 1, y, x^2, sqrt(2-x^2)),
reparametrize(x, y, 0, x, 0, 1, y, x^2, sqrt(2-x^2)),
reparametrize(x, x^2, z, x, 0, 1, z, 0,x),
reparametrize(x, sqrt(2-x^2), z, x, 0, 1, z, 0,x)
);

Tp.8 Ej.15.c

Jueves, diciembre 3rd, 2009

Calcule la masa de los siguientes cuerpos:

c) cuerpo definido por x^2 + y^2 \leq 9, 0 \leq z \leq 2 con densidad en cada punto proporcional a la distancia desde el punto al plano xz.

Solución:

La función densidad es de la forma \delta(x,y,z) = k|y|

Pasando a coordenadas cilíndricas sobre el eje z
T: \begin{cases} x = \rho \cos(\phi) \\ y = \rho \sin(\phi) \\ z = z \end{cases}
0 \leq \phi \leq 2\pi
0 \leq \rho \leq +\infty
-\infty \leq z \leq +\infty

La función densidad se transforma en:
\delta(\phi, \rho, z) = k\rho|\sin(\phi)|

Por lo tanto la masa del cuerpo viene dada por:

M = k \int_0^{\pi} \sin(\phi) d\phi \int_0^3 \rho^2 d\rho \int_0^2 dz - k \int_{\pi}^{2\pi} \sin(\phi) d\phi \int_0^3 \rho^2 d\rho \int_0^2 dz

= 2k \left[-\cos(\phi)\right]_0^{\pi} \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^3 - 2k \left[-\cos(\phi)\right]_{\pi}^{2\pi} \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^3

= 72k

El gráfico del cuerpo consiste simplemente el interior de un cilindro de radio 3 y altura 2:

draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
parametric_surface(3*cos(v), 3*sin(v), z, v,0,2*%pi, z,0,2),
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 2, v,0,2*%pi, u,0,3),
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 0, v,0,2*%pi, u,0,3)
);

Tp.8 Ej.10.e

Martes, diciembre 1st, 2009

Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.

e) H = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / z \geq x^2 \wedge x \geq z^2 \wedge x \geq |y| \}

La tercer restricción equivale a:
-x \leq y \leq x

Proyectando en el plano xz tenemos:

\begin{cases} z=x^2 \\ x=z^2 \end{cases}


draw2d(
parametric(t,t^2, t,-sqrt(2),sqrt(2)),
parametric(t^2,t, t,-sqrt(2),sqrt(2))
);

La intersección se produce cuando x = x^4 es decir cuando x=z=1

Por lo tanto la integral nos queda:

\int_0^1 dx \int_{-x}^{x} dy \int_{x^2}^{\sqrt{x}}dz

\int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)(2x) dx

2 \int_0^1 \sqrt{x}x - x^3 dx

2 \left[ \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^1 - 2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1

= \frac{3}{10}

El siguiente es el gráfico del cuerpo H


reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
reparametrize(x, y, x^2, x, 0, 1, y, -x, x),
reparametrize(x, y, sqrt(x), x, 0, 1, y, -x, x),
color=light-blue,
reparametrize(x, -x, z, x, 0, 1, z, x^2, sqrt(x)),
reparametrize(x, x, z, x, 0, 1, z, x^2, sqrt(x))
);

Tp.8 Ej.15.b

Viernes, noviembre 27th, 2009

Calcule la masa de los siguientes cuerpos:

b) cuerpo definido por z \geq |y|, x^2+y^2+z^2 \leq 1 si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano xy

Solución:

La función densidad es \delta(x,y,z) = k|z|, y como z \geq 0 nos queda:
\delta(x,y,z) = kz

Como la esfera esta cortada por dos planos, voy a tomar una variante de coordenadas esféricas (que sería equivalente a rotar x \to y, y \to z, z\to x):

\begin{cases} x = \rho\cos(\beta) \\ y = \rho\cos(\phi)\sin(\beta) \\ z = \rho\sin(\phi)\sin(\beta) \end{cases}

|J| = \rho^2 \sin(\beta)

Transformo la función densidad:
\delta(\phi, \beta, \rho) = k \rho \sin(\phi)\sin(\beta)

Por lo tanto la masa es:
k \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin(\phi) d\phi \int_0^{\pi} \sin^2(\beta) d\beta \int_0^1 \rho^3 d\rho

\frac{k}{4} [-\cos(\phi)]_{\pi/4}^{3\pi/4} [\frac{\beta}{2} - \frac{\sin(2\beta)}{4}]_{0}^{\pi}

\frac{k}{4} [\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}] [\frac{\pi}{2}]

= \frac{k}{8} \sqrt{2} \pi

El siguiente es el gráfico del cuerpo:


draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
parametric_surface(cos(b), cos(p)*sin(b), sin(p)*sin(b), p,%pi/4,3*%pi/4, b,0,%pi),
color=light-blue,
parametric_surface(u*cos(b), u*sqrt(2)/2*sin(b), u*sqrt(2)/2*sin(b), u,0,1, b,0,%pi),
parametric_surface(u*cos(b), -u*sqrt(2)/2*sin(b), u*sqrt(2)/2*sin(b), u,0,1, b,0,%pi)
);

Tp.8 Ej.10.c

Viernes, noviembre 27th, 2009

Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.

c) H definido por x^2 + z^2 \leq 2ax, interior a la esfera de radio 2a con centro en el origen de coordenadas.

Solución:

La ecuación de la esfera de radio 2a es:
x^2 + y^2 + z^2 = (2a)^2
Despejando y:
y = \pm \sqrt{(2a)^2 - x^2 - z^2}

De la ecuación x^2 + z^2 = 2ax, completando cuadrados resulta:
x^2 -2ax + z^2 = 0
(x-a)^2 + z^2 = a^2
o sea que es un cilindro de radio a, pero está corrido sobre el eje x de forma tal que su eje de simetría es del tipo r(t) = (a,t,0)

Usando coordenadas cilíndricas:
\begin{cases} x = \rho \cos(\phi) \\ y = y \\ z = \rho\sin(\phi) \end{cases}
|J| = \rho

Transformamos al cilindro
\rho^2 = 2a \rho\cos(\phi)
\rho = 2a \cos(\phi)

y transformamos la esfera
y = \pm \sqrt{4a^2 - \rho^2}

Por lo tanto el volumen vendrá dado por:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi \int_0^{2a\cos(\phi)} \rho d\rho \int_{-\sqrt{4a^2-\rho^2}}^{\sqrt{4a^2-\rho^2}}dy

2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi \int_0^{2a\cos(\phi)} \rho \sqrt{4a^2 - \rho^2} d\rho

Queremos evaluar \int_0^{2a\cos(\phi)} \rho \sqrt{4a^2 - \rho^2} d\rho

Sustituyo u = 4a^2 - \rho^2
du = -2\rho d\rho

\frac{-1}{2} \int \sqrt{u} du
= \frac{-1}{2} \frac{2}{3} u^{3/2} + c
= \frac{-1}{3} (4a^2 - \rho^2)^{3/2} + c
La integral definida queda entonces:
\left[\frac{-1}{3}(4a^2 - \rho^2)^{3/2} \right]_0^{2a\cos(\phi)}
= \frac{-1}{3}(4a^2 - 4a^2\cos^2(\phi))^{3/2} + \frac{8}{3}a^3
= \frac{-8a^3}{3}(1 - \cos^2(\phi))^{3/2} + \frac{8}{3}a^3
= \frac{-8a^3}{3}(\sin^2(\phi))^{3/2} + \frac{8}{3}a^3
= \frac{-8a^3}{3}|\sin(\phi)|^3 + \frac{8}{3}a^3

Retomando la integral de volúmen:
2 \int_{-\pi/2}^{0} \frac{8a^3}{3}\sin^3(\phi) d\phi - 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{8a^3}{3}\sin^3(\phi)d\phi + \frac{16}{3}a^3\pi

2 \frac{8a^3}{3} \left[ -\cos(\phi) + \frac{\cos^3(\phi)}{3} \right]_{-\pi/2}^{0} - 2 \frac{8a^3}{3} \left[ -\cos(\phi) + \frac{\cos^3(\phi)}{3} \right]_{0}^{\pi/2} + \frac{16}{3}a^3\pi

= \frac{16a^3}{3}(-1 + \frac{1}{3}) - \frac{16a^3}{3}(0 - (-1 + \frac{1}{3})) + \frac{16}{3}a^3\pi

= \frac{-64}{9}a^3 + \frac{16}{3}a^3\pi

= a^3 \left( \frac{16}{3}\pi - \frac{64}{9} \right) \approx (9.644)a^3

El siguiente es el gráfico del cuerpo para el valor de a=1


reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
reparametrize(r*cos(p), sqrt(4-r^2), r*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, r, 0, 2*cos(p)),
reparametrize(r*cos(p), -sqrt(4-r^2), r*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, r, 0, 2*cos(p)),
color=light-blue,
reparametrize((2*cos(p))*cos(p), y, (2*cos(p))*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, y, -sqrt(4-4*cos(p)^2), sqrt(4-4*cos(p)^2))
);