Tp.8 Ej.10.g

Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.

g) H definido por y \geq x^2, x^2 + y^2 \leq 2, z \geq 0, z \leq x.

Solución:

Como z \geq 0 y z \leq x tenemos también que x \geq 0, y como y \geq x^2 tenemos que y \geq 0, por lo tanto sabemos que el cuerpo se encuentra en el 1º octante.

Calculemos el valor máximo que puede tomar x intersectando
\begin{cases} y = x^2 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases}
y + y^2 = 2
y^2 + y - 2 = 0
De donde sale y_0 = 1 e y_1 = -2 (este último no nos interesa ya que no pertenece al 1º octante).
Reemplazando y_0 = 1 en la primer ecuación obtenemos x_0 = 1 en el 1º octante.

Por lo tanto el volúmen del cuerpo H es:

\int_0^1 dx \int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}} dy \int_0^x dz

\int_0^1 x (\sqrt{2-x^2} - x^2) dx

\int_0^1 x \sqrt{2-x^2} dx - \int_0^1 x^3 dx

Para resolver \int x \sqrt{2-x^2} dx, si
u = 2-x^2, entonces
du = -2x dx

\frac{-1}{2} \int \sqrt{u} du = \frac{-1}{3} (2-x^2)^{3/2}

Retomando nuestra integral:
\left[ \frac{-1}{3}(2-x^2)^{3/2} \right]_0^1 - \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1
= \frac{-1}{3} - \frac{-2\sqrt{2}}{3} - (\frac{1}{4})
= \frac{2}{3}\sqrt{2} - \frac{7}{12}

El siguiente es el gráfico del cuerpo H:

reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
reparametrize(x, y, x, x, 0, 1, y, x^2, sqrt(2-x^2)),
reparametrize(x, y, 0, x, 0, 1, y, x^2, sqrt(2-x^2)),
reparametrize(x, x^2, z, x, 0, 1, z, 0,x),
reparametrize(x, sqrt(2-x^2), z, x, 0, 1, z, 0,x)
);

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Una respuesta a Tp.8 Ej.10.g

  1. Cecilia dijo:

    Ah joya. Habia calculado mal los limites de integracion. No me di cuenta de que x siempre tiene que ser mayor a 0. Gracias!

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