Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo , usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.
g) definido por
,
,
,
.
Solución:
Como y
tenemos también que
, y como
tenemos que
, por lo tanto sabemos que el cuerpo se encuentra en el 1º octante.
Calculemos el valor máximo que puede tomar intersectando
De donde sale e
(este último no nos interesa ya que no pertenece al 1º octante).
Reemplazando en la primer ecuación obtenemos
en el 1º octante.
Por lo tanto el volúmen del cuerpo es:
Para resolver , si
, entonces
Retomando nuestra integral:
El siguiente es el gráfico del cuerpo :
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
reparametrize(x, y, x, x, 0, 1, y, x^2, sqrt(2-x^2)),
reparametrize(x, y, 0, x, 0, 1, y, x^2, sqrt(2-x^2)),
reparametrize(x, x^2, z, x, 0, 1, z, 0,x),
reparametrize(x, sqrt(2-x^2), z, x, 0, 1, z, 0,x)
);
Ah joya. Habia calculado mal los limites de integracion. No me di cuenta de que x siempre tiene que ser mayor a 0. Gracias!