Tp.8 Ej.6.a

Lunes, julio 25th, 2011

Resuelva los siguientes ejercicios usando el cambio de coordenadas indicado.
a) \iint_D (6-x-y)^{-1} dxdy, D : |x+y| \leq 2 \wedge y \leq x+2 \leq 4, usando (x,y) = (v, u-v)

Solución:

La transformación a usar es
(x,y) = t(u,v) = (v, u-v)

Calculamos el jacobiano
Dt = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\det(Dt) = -1
|\det(Dt)| = |-1| = 1
Entonces
dxdy = dudv

Ahora transformamos la región de integración
|x + u-v| \leq 2
y \leq x+2 \leq 4

|v + u-v| \leq 2
|u| \leq 2
-2 \leq u \leq 2

u-v \leq v+2 \leq 4
\frac{u-2}{2} \leq v \leq 2

Por lo tanto la región de integración se transforma en
-2 \leq u \leq 2
\frac{u-2}{2} \leq v \leq 2

Ahora transformamos el integrando
(6-x-y)^{-1}
(6-v -u+v)^{-1}
(6 - u)^{-1}

Juntando todo
\int_{-2}^{2} (6 - u)^{-1} du \int_{\frac{u-2}{2}}^2 dv
\int_{-2}^{2} (6 - u)^{-1} (2 - \frac{u-2}{2} )  du
\int_{-2}^{2} (6 - u)^{-1} (\frac{4-u+2}{2} )  du
\int_{-2}^{2} (6 - u)^{-1} (\frac{6-u}{2} )  du
\int_{-2}^{2} \frac{1}{2}  du
= \frac{1}{2}(2 - (-2)) = 2

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7 comentarios el “Tp.8 Ej.6.a

  1. aleixen dice:

    hola, tenia dudas sobre los limites de integracion del 6)d),no me da bien y no se ya como hacerlo

    • dami dice:

      Hola Aleixen,
      Podrías copiar el procedimiento que hicistes para ver porque no te da bien? Los límites de integración deberían quedar sencillos una vez que hacés el cambio de variables que te indica el enunciado.
      Suerte,
      Damián.

  2. Jesica dice:

    Hola, pregunta, en el ejercicio 6.e., dice que use coord polares con esa region que no lo es para nada circular, es correcto o es un error de la guia?

    • sergio dice:

      Hola jesica, si el ejercicio es este

      \displaystyle\iint_D \dfrac{x+4y}{x^2}dxdy

      no hay ningun error se puede efectuar el calculo en polares, ahora
      si es otro, porque creo que cambiaron los ejercicios en las guias de este año, no sabria decirte

  3. Mariana dice:

    Hola, no entiendo cómo pasas de :
    u-v \leq v+2 \leq 4
    a:
    \frac{u-2}{2} \leq v \leq 2

    Gracias

  4. Mariana dice:

    perdon quise poner de
    u – v <= v +2 <= 4
    a
    (u-2)/2 <= v <= 2

    (cuando transformas la region de integración)
    gracias!

    • dami dice:

      Hola Mariana,

      Son dos inecuaciones distintas, las podés pensar por separado, primero u-v \leq v+2 y después v+2 \leq 4

      Para usar \LaTeX te faltó poner los tags correspondientes.

      Saludos,
      Damián.

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