Tp.8 Ej.6.a

Publicado el julio 25, 2011 por damidami

Resuelva los siguientes ejercicios usando el cambio de coordenadas indicado.
a) \iint_D (6-x-y)^{-1} dxdy, D : |x+y| \leq 2 \wedge y \leq x+2 \leq 4, usando (x,y) = (v, u-v)

Solución:

La transformación a usar es
(x,y) = t(u,v) = (v, u-v)

Calculamos el jacobiano
Dt = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\det(Dt) = -1
|\det(Dt)| = |-1| = 1
Entonces
dxdy = dudv

Ahora transformamos la región de integración
|x + u-v| \leq 2
y \leq x+2 \leq 4

|v + u-v| \leq 2
|u| \leq 2
-2 \leq u \leq 2

u-v \leq v+2 \leq 4
\frac{u-2}{2} \leq v \leq 2

Por lo tanto la región de integración se transforma en
-2 \leq u \leq 2
\frac{u-2}{2} \leq v \leq 2

Ahora transformamos el integrando
(6-x-y)^{-1}
(6-v -u+v)^{-1}
(6 - u)^{-1}

Juntando todo
\int_{-2}^{2} (6 - u)^{-1} du \int_{\frac{u-2}{2}}^2 dv
\int_{-2}^{2} (6 - u)^{-1} (2 - \frac{u-2}{2} ) du
\int_{-2}^{2} (6 - u)^{-1} (\frac{4-u+2}{2} ) du
\int_{-2}^{2} (6 - u)^{-1} (\frac{6-u}{2} ) du
\int_{-2}^{2} \frac{1}{2} du
= \frac{1}{2}(2 - (-2)) = 2

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7 respuestas a Tp.8 Ej.6.a

  1. aleixen dijo:
    septiembre 24, 2011 en 9:57 am

    hola, tenia dudas sobre los limites de integracion del 6)d),no me da bien y no se ya como hacerlo

    Responder
    • dami dijo:
      septiembre 24, 2011 en 11:52 am

      Hola Aleixen,
      Podrías copiar el procedimiento que hicistes para ver porque no te da bien? Los límites de integración deberían quedar sencillos una vez que hacés el cambio de variables que te indica el enunciado.
      Suerte,
      Damián.

      Responder
  2. Jesica dijo:
    octubre 26, 2011 en 11:31 pm

    Hola, pregunta, en el ejercicio 6.e., dice que use coord polares con esa region que no lo es para nada circular, es correcto o es un error de la guia?

    Responder
    • sergio dijo:
      octubre 27, 2011 en 7:31 am

      Hola jesica, si el ejercicio es este

      \displaystyle\iint_D \dfrac{x+4y}{x^2}dxdy

      no hay ningun error se puede efectuar el calculo en polares, ahora
      si es otro, porque creo que cambiaron los ejercicios en las guias de este año, no sabria decirte

      Responder
  3. Mariana dijo:
    junio 25, 2013 en 12:46 pm

    Hola, no entiendo cómo pasas de :
    u-v \leq v+2 \leq 4
    a:
    \frac{u-2}{2} \leq v \leq 2

    Gracias

    Responder
  4. Mariana dijo:
    junio 25, 2013 en 12:49 pm

    perdon quise poner de
    u – v <= v +2 <= 4
    a
    (u-2)/2 <= v <= 2

    (cuando transformas la region de integración)
    gracias!

    Responder
    • dami dijo:
      junio 25, 2013 en 5:57 pm

      Hola Mariana,

      Son dos inecuaciones distintas, las podés pensar por separado, primero u-v \leq v+2 y después v+2 \leq 4

      Para usar \LaTeX te faltó poner los tags correspondientes.

      Saludos,
      Damián.

      Responder

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