Tp.8 Ej.2.e

Calcule las siguientes integrales en ambos órdenes de integración y verifique que los resultados coinciden.

e) \int_0^1 dx \int_0^x (x+y) dy + \int_1^4 dx \int_0^1 (x+y) dy

Solución:
\int_0^1 dx \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^x + \int_1^4 dx \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^1

\int_0^1 x^2 + \frac{x^2}{2} dx + \int_1^4 x + \frac{1}{2} dx

\left[ \frac{x^3}{2} \right]_0^1 + \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x \right]_1^4

\frac{1}{2} + (10 - 1)

= \frac{19}{2}

En el otro orden:

\int_0^1 dy \int_y^1 (x+y) dx + \int_0^1 dy \int_1^4 (x+y) dx

\int_0^1 dy \left[ \frac{x^2}{2} + yx \right]_y^1 + \int_0^1 dy \left[ \frac{x^2}{2} + yx \right]_1^4

\int_0^1 \frac{1}{2} + y - (\frac{y^2}{2} + y^2) dy + \int_0^1 8 + 4y - (\frac{1}{2} + y) dy

\int_0^1 -\frac{3}{2}y^2 + y + \frac{1}{2} dy + \int_0^1 3y + \frac{15}{2} dy

\left[ -\frac{1}{2}y^3 + \frac{y^2}{2} + \frac{y}{2} \right]_0^1 + \left[ \frac{3y^2}{2} + \frac{15}{2}y \right]_0^1

= \frac{19}{2}

El gráfico de la región es:


draw2d(
parametric(t, t, t, 0, 1),
parametric(t, 1, t, 1,4)
);

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2 comentarios en “Tp.8 Ej.2.e”

  1. Buenas,
    En el ejercicio 2.c. aparece en el calculo de la integral un modulo de x, como tengo que manejarme en esta situacion?

    Y en el 2.d., en donde aparece una f(x,y), como se bifurca la integral segun el dominio de f?

    Saludos y gracias, me ayuda mucho tus respuestas!

    Responder

  2. Hola para el 2 c considera que

    f(x,y)=|x|

    D=[-1,1]\times{[-1,1]}

    A=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\int_{-1}^{1} |x| dydx

    si resolves primero respecto de y tenes que

    \displaystyle\int_{-1}^{1}2|x| dx

    resolviendo respecto de x

    \displaystyle\int_{-1}^{0}-2x dx+\displaystyle\int_{0}^{1}2x dx=...

    2d) haz un dibujo del dominio que te dan si no me cambiaron la guia es

    D: x^2-1\leq{y\leq{1-x^2}}

    observando el dibujo, y al f(x,y) que te dan deducis

    A=\displaystyle\int_{-1}^{0}\displaystyle\int_{x^2-1}^{1-x^2} -2x dydx+\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{x^2-1}^{1-x^2}dydx

    saludos

    Responder

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