Tp.8 Ej.1.f

Calcule el área de las siguientes regiones planas mediante integrales dobles; se recomienda no aplicar propiedades de simetría, plantee los límites para toda la región.

f) D: conjunto donde son positivas las componentes de f(x,y) = (4-x^2-y^2, 2-x-y^2)

Solución:

Veamos para que región del plano xy se cumple que:

\begin{cases} 4 - x^2 - y^2 > 0 \\ 2 - x - y^2 > 0 \end{cases}

\begin{cases} 4 > x^2 + y^2 \\ 2 - y^2 > x \end{cases}

\begin{cases} x^2 + y^2 < 4 \\ x < 2 - y^2 \end{cases}

Representa el interior de una circunferencia de radio 2, limitado por una parábola.

Veamos donde se intersectan estas curvas:

\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x = 2 - y^2 \end{cases}

de la segunda restricción:
y^2 = 2-x
en la primera
x^2 + 2-x = 4
x^2 - x - 2 = 0
de donde sale que x_0 = 2 y x_1 = -1
Cuando x=2 tenemos que y = 0 y cuando x = -1 tenemos que y= \pm \sqrt{3}

Vamos a hacerlo en dos partes, el interior de la parábola en cartesianas:

A_1 = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} dy \int_{-1}^{2-y^2} dx

\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} 2 - y^2 - (-1) dy

\left[ 3y - \frac{y^3}{3} \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}

3\sqrt{3} - \sqrt{3} - (-3\sqrt{3} + \sqrt{3})
= 4\sqrt{3}

Y lo que queda del interior de la circunferencia, en polares, con x < -1

A_2 = \int_{2\pi/3}^{4\pi/3} d\phi \int_{\frac{-1}{\cos(\phi)}}^2 \rho d\rho

\int_{2\pi/3}^{4\pi/3} d\phi \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{\frac{-1}{\cos(\phi)}}^2

\int_{2\pi/3}^{4\pi/3} 2 - \frac{1}{2\cos^2(\phi)} d\phi

\left[2 \phi \right]_{2\pi/3}^{4\pi/3} - \frac{1}{2} \int_{2\pi/3}^{4\pi/3} \frac{1}{\cos^2(\phi)} d\phi

\frac{8 \pi}{3} - \frac{4 \pi}{3} - \frac{1}{2} \left[ \tan(\phi) \right]_{2\pi/3}^{4\pi/3}

\frac{4 \pi}{3} - \frac{1}{2} [ \sqrt{3} + \sqrt{3}]

\frac{4 \pi}{3} - \sqrt{3}

Finalmente el área pedida es la suma de las dos areas calculadas:

A = A_1 + A_2 = 3\sqrt{3} + \frac{4 \pi}{3}

El siguiente es el gráfico de la región:

draw2d(
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(2-t^2, t, t,-2,2)
);

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3 respuestas a Tp.8 Ej.1.f

  1. Andrea dijo:

    Hola Damián, de nuevo yo!! Estoy practicando y practicando…en este ejercicio no me sale los limites de integracion del area2, como obtenes 2pi/3 y 4pi/3 ? (parece que tengo q repasar polares!!)

    Gracias por todas las respuestas!!

    Andrea

    • dami dijo:

      Hola Andrea,
      Para calcular los ángulos tené en cuenta que estamos hablando de puntos en una circunferencia de radio 2. Los puntos son A = (-1, \sqrt{3}) y B=(-1, -\sqrt{3})
      Dividiendo por 2 obtenemos puntos en una circunferencia unitaria:
      A' = (\frac{-1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) y B' = (\frac{-1}{2}, \frac{-\sqrt{3}}{2})
      Luego para el ángulo del punto A (por ejemplo). digamos que es \alpha, y sabés que \cos(\alpha) = \frac{-1}{2} y \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}, y entonces usas las funciones trigonométricas inversas para sacar que \alpha = \frac{2 \pi}{3}
      Hay otras formas de llegar a los mismos ángulos, usando arcotangente, pero con que sepas alguna debería alcanzar.

      Saludos,
      Damián.

  2. Diego dijo:

    Hola damian, mira no estoy entendiendo porque cuando buscas los limites de p pones -1/cos(fi)….y otra duda es si se podria expresar como raiz 3 / sen (fi)
    Yo comprendo que p=2 dado que x2+y2=4 y despejo de ahi el limite superior.

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