Tp.8 Ej.15.c

Jueves, diciembre 3rd, 2009

Calcule la masa de los siguientes cuerpos:

c) cuerpo definido por x^2 + y^2 \leq 9, 0 \leq z \leq 2 con densidad en cada punto proporcional a la distancia desde el punto al plano xz.

Solución:

La función densidad es de la forma \delta(x,y,z) = k|y|

Pasando a coordenadas cilíndricas sobre el eje z
T: \begin{cases} x = \rho \cos(\phi) \\ y = \rho \sin(\phi) \\ z = z \end{cases}
0 \leq \phi \leq 2\pi
0 \leq \rho \leq +\infty
-\infty \leq z \leq +\infty

La función densidad se transforma en:
\delta(\phi, \rho, z) = k\rho|\sin(\phi)|

Por lo tanto la masa del cuerpo viene dada por:

M = k \int_0^{\pi} \sin(\phi) d\phi \int_0^3 \rho^2 d\rho \int_0^2 dz - k \int_{\pi}^{2\pi} \sin(\phi) d\phi \int_0^3 \rho^2 d\rho \int_0^2 dz

= 2k \left[-\cos(\phi)\right]_0^{\pi} \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^3 - 2k \left[-\cos(\phi)\right]_{\pi}^{2\pi} \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^3

= 72k

El gráfico del cuerpo consiste simplemente el interior de un cilindro de radio 3 y altura 2:

draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
parametric_surface(3*cos(v), 3*sin(v), z, v,0,2*%pi, z,0,2),
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 2, v,0,2*%pi, u,0,3),
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 0, v,0,2*%pi, u,0,3)
);

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6 comentarios el “Tp.8 Ej.15.c

  1. Cecilia dice:

    Damian, te paso una pagina para que la pongas en el blog, ayuda a saber si la integral esta bien. 😛
    http://integrals.wolfram.com/index.jsp

  2. Maxi dice:

    Damian, creo que tenes un error en la escritura (pero luego hiziste bien los calculos) donde dice:

    M = …

    el ultimo de todos los operadores es un “+” y deberia ser una multiplicacion. Luego lo pusiste bien abajo.
    Era para avisarte.
    Saludos!

  3. Jesica dice:

    Damian, la función de densidad, siempre es k por el modulo de la “coordenada”? es decir k|y|, k|x|, k|z| ?? Gracias!

    • dami dice:

      Hola Jesica,
      La funcion densidad no es “siempre” de esa forma. Solo es asi cuando es proporcional a un plano coordenado, caso que aparece mucho.
      En el ejercicio Tp9 ej.15.a tenes un ejemplo de otra funcion densidad.
      Saludos,
      Damian.

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