Tp.8 Ej.10.e

Martes, diciembre 1st, 2009

Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.

e) H = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / z \geq x^2 \wedge x \geq z^2 \wedge x \geq |y| \}

La tercer restricción equivale a:
-x \leq y \leq x

Proyectando en el plano xz tenemos:

\begin{cases} z=x^2 \\ x=z^2 \end{cases}


draw2d(
parametric(t,t^2, t,-sqrt(2),sqrt(2)),
parametric(t^2,t, t,-sqrt(2),sqrt(2))
);

La intersección se produce cuando x = x^4 es decir cuando x=z=1

Por lo tanto la integral nos queda:

\int_0^1 dx \int_{-x}^{x} dy \int_{x^2}^{\sqrt{x}}dz

\int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)(2x) dx

2 \int_0^1 \sqrt{x}x - x^3 dx

2 \left[ \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^1 - 2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1

= \frac{3}{10}

El siguiente es el gráfico del cuerpo H


reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
reparametrize(x, y, x^2, x, 0, 1, y, -x, x),
reparametrize(x, y, sqrt(x), x, 0, 1, y, -x, x),
color=light-blue,
reparametrize(x, -x, z, x, 0, 1, z, x^2, sqrt(x)),
reparametrize(x, x, z, x, 0, 1, z, x^2, sqrt(x))
);

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Un comentario el “Tp.8 Ej.10.e

  1. Cecilia dice:

    Damian, podes subir la resolucion del 10.g de esta guia? No entiendo porque no me da…. 😦

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