Tp.8 Ej.10.f

Martes, diciembre 15th, 2009

Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.

f) H definido por x^2 + z^2 \leq 9, y \geq 2x, y \leq 2x + 4

Solución:

Como la primer restricción corresponde al interior de un cilíndro de radio 3 sobre el eje y, vamos a usar coordenadas cilíndricas sobre dicho eje:
T: \begin{cases} x = \rho \cos(\phi) \\ y = y \\ z = \rho \sin(\phi) \end{cases}
|J| = \rho

Por lo tanto el volumen del cuerpo H es:

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^3 \rho d\rho \int_{2 \rho \cos(\phi)}^{2\rho\cos(\phi) + 4} dy

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^3 \rho d\rho [2\rho\cos(\phi) + 4 - 2\rho\cos(\phi)]

4 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^3 \rho d\rho

8 \pi \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_0^3

= 36 \pi \approx 113,097...

El siguiente es el gráfico del cuerpo H


reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v), 2*u*cos(v), u*sin(v), u, 0, 3, v, 0, 2*%pi),
parametric_surface(u*cos(v), 2*u*cos(v)+4, u*sin(v), u, 0, 3, v, 0, 2*%pi),
reparametrize(x, y, sqrt(9-x^2), x, -3, 3, y, 2*x, 2*x+4),
reparametrize(x, y, -sqrt(9-x^2), x, -3, 3, y, 2*x, 2*x+4)
);

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