Tp.8 Ej.7.a

Calcule el área de la región plana limitada por las curvas de niveles e^4 y e^8 de f(x,y) = e^{x^2 + 2y^2}

Solución:

El área queda limitada por las curvas:

e^{x^2 + 2y^2} = e^4
y
e^{x^2 + 2y^2} = e^8

aplicando logaritmo:

x^2 + 2y^2 = 4
y
x^2 + 2y^2 = 8

Uso un sistema de coordenadas parecido a polares:
x = \sqrt{2} \rho \cos(\phi)
y = \rho \sin(\phi)

El jacobiano es:
|J| = \left| \begin{matrix} \sqrt{2}\cos(\phi) & -\sqrt{2}\rho\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & \rho \cos(\phi) \end{matrix} \right|
= \sqrt{2} \rho

Por lo tanto el área pedida es:

\sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\phi \int_{\sqrt{2}}^{2} \rho d\rho

2 \sqrt{2} \pi \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{\sqrt{2}}^{2}

= 2 \sqrt{2} \pi

El gráfico de la región plana es:


draw2d(
parametric(2*cos(t), sqrt(2)*sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(sqrt(8)*cos(t), sqrt(4)*sin(t), t, 0, 2*%pi)
);

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7 respuestas a Tp.8 Ej.7.a

  1. Maxi dijo:

    Damian, ¿de donde sale la raiz de dos en esas coordenadas que son similares a polares? ¿se puede hacer en polares?

    • damidami dijo:

      Hola Maxi,
      La idea es elegir un sistema de coordenadas que transforme la elipse en una circunferencia para hacer más fácil los límites de integración.
      Ej, la elipse x^2 + 2y^2 = 4 se transforma en \rho^2 = 2 puesto que \cos^2(\phi) + \sin^2(\phi) = 1
      En polares no te quedaba esa identidad trigonométrica.
      Damián.

  2. Jesica dijo:

    Buenas,
    En el ejercicio 7.b., use coordenadas elipticas, pero no se cuales son los limites de d(phi), ya que no son angulos comodos de manejar. Como quedaria en definitiva la integral que me piden?

    llegue a que: 0<p<2 pero phi, no se bien como calcularlo.

    Saludos y gracias!

  3. sergio dijo:

    Me gustaria ayudarte pero me pa que la guia que me vendieron el cuatri pasado esta desactualizada y no coinciden algunos ejercicios 😦 como es el dominio de integracion ?

  4. Jesica dijo:

    :S Uh, tenes razon es el Tp9.7.b. de Integrales multiples. Igualmente ya saque los angulos de phi, pero cuando aplico las coord. polares, ro va desde 0 a 2? o de 0 a 4? El tema que me quedo mal la respuesta con alguna diferencia.
    Saludos

  5. Elias dijo:

    Hola Damian tengo un problema para arrancar en la parte B de este problema por la integral de e ^ [(ro)^2] , esto es despues de pasar a polares. Este problema se parece a el 5.B pero no me sale la integral tampoco de ese ejercicio.

    • dami dijo:

      Hola Elias,
      La integral \int e^{x^2} dx no tiene primitiva elemental.

      En el 5.b se cambia el orden de integración para que quede la integral \int x e^{x^2} dx que es mas fácil de resolver (con una sustitución).

      En la parte b) de este ejercicio, me parece que te olvidastes de multiplicar por el jacobiano, te queda algo más parecido al 5.b después de cambiar el orden de integración.

      Por otro lado el cambio de variables que usastes para que te quede e^{\rho^2} en el integrando no es polares, sino que sólo esta “basado en polares”, algunos lo llaman coordenadas elípticas.

      Suerte,
      Damián.

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