
1ER PARCIAL ANÁLISIS MATEMÁTICO II VERANO 2018
Solución: (de la práctica, las demostraciones se vieron en clase)
T1)
a) Nos dan
con
Hay que verificar que 
Derivando parcialmente



Luego


b)
es el Taylor de grado 2 asociado a
en
.

Queremos que
admita extremo local en
y clasificarlo.
Como
, entonces
también. Luego los puntos críticos son estacionarios, es decir el gradiente se anula. Como queremos que
sea crítico


Del Taylor sabemos que
![f'_x(2,1) = T'_x(2,1) = [ -2 + 8x ]_{(2,1)} = 14 f'_x(2,1) = T'_x(2,1) = [ -2 + 8x ]_{(2,1)} = 14](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%27_x%282%2C1%29+%3D+T%27_x%282%2C1%29+%3D+%5B+-2+%2B+8x+%5D_%7B%282%2C1%29%7D+%3D+14&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
![f'_y(2,1) = T'_y(2,1) = [ 1 + 2y ]_{(2,1)} = 3 f'_y(2,1) = T'_y(2,1) = [ 1 + 2y ]_{(2,1)} = 3](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%27_y%282%2C1%29+%3D+T%27_y%282%2C1%29+%3D+%5B+1+%2B+2y+%5D_%7B%282%2C1%29%7D+%3D+3&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
Reemplazando


Es decir debe cumplirse que
, y que
.
Para clasificarlo calculemos el hessiano. Necesitamos las derivadas segundas de
que coinciden con las de
, y podemos obtener del Taylor



Luego

por el criterio del hessiano,
es mínimo relativo.
T2)
b) Dada
, hay que probar que en el punto
resulta
es perpendicular.
Sea
. Entonces
, en particular 
Parametrizamos la elipse
con
con 
Sea
tal que
.
Sea
. Por ser constante
, por otro lado por la regla de la cadena
. Es decir que 
Es decir
donde
es vector tangente a la elipse. Igual la idea es hacer un dibujito de la elipse y las rectas normal y tangente como sigue.
La recta normal viene dada por 
La recta tangente viene dada por
tal que
es decir
, luego la recta tangente es de ecuación 
Y el dibujito nos queda así

P1) 
Veamos si es contínua en
. Debería existir el límite, a ver si es cierto

Veamos que pasa por la recta de ecuación 

Luego no es continua en
pues el límite debería ser igual a
. Por lo tanto tampoco es diferenciable en 
Veamos que onda las derivadas direccionales




La única forma que exista este límite es que
(sino daría
, pero para las derivadas exigimos limites reales).
Es decir las únicas direcciones en las que es derivable son
y
, en donde vale 
Dibujín de la gráfica de 

Se ve que algo raro pasa en el punto
(el eje
está en rojo, el eje
en verde, y el eje
en azul)
P2) La parametrización mas directa es considerar la
como un parámetro
, es decir
, con
. Cláramente
(sus coordenadas son polinomios), y además
. Esto nos dice que es una parametrización regular.
Averiguemos
tal que
. Fácil,
. Luego
es vector tangente a la curva en
. Luego la recta tangente es de ecuación

Dibujo todo con el geogebra:

La curva está en verde fluorescente y bien gordita. El punto
está marcado como
. La recta tangente en azul clarito. Y las superficies en amarillo y rosita transparente.
P3) 
La familia de líneas de nivel (curvas de nivel) viene dada por

busco la familia ortogonal, para eso primero busco la EDO

divido por 2

ok, esa es la EDO. Ahora busco la EDO de la familia ortogonal. Para eso cambio
por 

multiplico por 

y ahora la resuelvo para encontrar la familia ortogonal. Primero separo variables



bien, ahí separé variables. Ahora integramos


esa es la familia ortogonal buscada.
Veamos que curvas pasan por el
. De la primer familia obtenemos
, es decir sólo pasa
(una elipse)
De la segunda familia obtenemos
, por lo tanto hay una curva y es esta
(una parábola)
Ahora graficamos todo

En azul está la elipse, y en rojo la parábola. El punto
se indica como
. En negro las rectas tangentes a cada una (que son las normales de la otra respectivamente). Y si uno presta atención, con trazo muy finito hay otras curvas de ambas familias.
P4)
a) Nos dan
, con
.
De
nos dicen que es
y que el taylor de 2do grado en
es
.
Nos piden una derivada direccional de
, que es diferenciable por ser composición de diferenciables. Entonces me interesa calcular
usando la regla de la cadena. Vemos que
. Luego



Por otro lado
![f'_u(2,1) = T'_x(2,1) = [ -10x ]_{(2,1)} = -20 f'_u(2,1) = T'_x(2,1) = [ -10x ]_{(2,1)} = -20](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%27_u%282%2C1%29+%3D+T%27_x%282%2C1%29+%3D+%5B+-10x+%5D_%7B%282%2C1%29%7D+%3D+-20&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
![f'_v(2,1) = T'_y(2,1) = [ 3 ]_{(2,1)} = 3 f'_v(2,1) = T'_y(2,1) = [ 3 ]_{(2,1)} = 3](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%27_v%282%2C1%29+%3D+T%27_y%282%2C1%29+%3D+%5B+3+%5D_%7B%282%2C1%29%7D+%3D+3&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
(Tal vez sería mejor llamar
al taylor para que no haya confusión con los valores de
de
, se entiende que no hay relación.)
Luego nos queda


La dirección que va del
hacia el
es 
Luego la derivada pedida es



b) La función
está definida implícitamente por la ecuación
.
Hay que determinar la ecuación del plano tangente a la gráfica de
en el punto
.
Sea 
Verifico que el punto esté en el conjunto de nivel cero.

No hace falta usar Cauchy-Dini, alcanza con usar que el gradiente de
es normal al conjunto de nivel cero de
en
, pues la gráfica de
coincide con el conjunto de nivel cero de
en las cercanias del punto en cuestión.



Luego un vector normal es 
Otro normal mas lindo por no tener denominadores es
.
Luego la ecuación del plano tangente pedido es
![[(x,y,z) - (1,5,3)] \cdot (8,5,-27) = 0 [(x,y,z) - (1,5,3)] \cdot (8,5,-27) = 0](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B%28x%2Cy%2Cz%29+-+%281%2C5%2C3%29%5D+%5Ccdot+%288%2C5%2C-27%29+%3D+0&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)


