Selección de ejercicios (de los Finales)

El siguiente es un listado de ejercicios tomados en finales, agrupados según la unidad a la que corresponderían en la guía de TP, junto con su resultado.

TP04 – Derivabilidad

  1. (Final 21/12/2009 2.a)
    Siendo f(x,y) = \frac{x^2 y + y^2 \sin(x) }{x^2 + y^2 } si (x,y) \neq (0,0), f(x,y) = 0 si (x,y) = (0,0), analice si existe f'((0,0), \hat{r}) para distintos \hat{r} \in \mathbb{R}^2.Rta: Es derivable en toda dirección (u,v) con derivada u^2v + uv^2.
  2. (Final 29/10/2009 2.a)
    Analicesi el punto \vec{A}=(1,1) es punto simple y también si es punto regular de la curva de ecuación \vec{X} = (\sqrt{2}\cos(t), \sqrt{2}\sin(t)) con 0 \leq t \leq 3\pi.Rta: no es simple, y es regular.
  3. (Final 29/10/2009 2.b)
    Dada la curva C definida por la intersección de las superficies de ecuaciones: z = y+x^2 e y=z-x, analice si la recta tangente a C en \vec{A} = (1,1,2) tiene algún punto en común con el eje z.Rta: No intersecta al eje z.

TP05 – Diferenciabilidad

    1. (Final 21/12/2009 2.b)
      Siendo x-y+z=4 la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación z = f(x,y) en el punto (2,1,z_0), halle las direcciones de derivada direccional máxima, mínima y nula de f en (2,1) indicando, para cada caso, cuál es el correspondiente valor de la derivada.Rta: \hat{r}_{max} = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) con valor de derivada \sqrt{2}
      \hat{r}_{min} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}) con valor de derivada -\sqrt{2}
      \hat{r}_{nul1} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})
      \hat{r}_{nul2} = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})
    2. (Final 20/12/2010 1.a)
      Sabiendo que la superficie de ecuación z=f(x,y) tiene plano tangente de ecuación x + 2y - 3z = 1 en el punto (2,2,z_0), calculef'((2,2), \hat{r}) cuando \hat{r} está orientado desde (2,2) a (3,5).Rta: \frac{7}{3\sqrt{10}}
    3. (Final 24/09/2010 1.a)
      Dado f diferenciable con f(1,3) = 5 y derivada f'(\vec{A},(u,v)) = 3u+2v, calculeaproximadamente f(1.02, 2.99). (El punto \vec{A} es cualquier punto de \mathbb{R}^2)Rta: 5.04\ldots

Superficie regular

  1. (Final 19/07/2011 T1)
    Verifique que \vec{A} = (2,5,-1) es punto regular de la superficie \Sigma de ecuación \vec{X} = (uv, u+2v, u-v) con (u,v) \in \mathbb{R}^2 y halleuna ecuación para el plano tangente a \Sigma en \vec{A}.Rta: Una ecuación cartesiana del plano es -x+y+z=2

TP06 – Funciones Compuestas e Implícitas

Función implícita

    1. (Final 20/12/2010 1.b)
      Dada z=f(x,y) definida implícitamente por la ecuación xz+z^3y + \ln(z+x-2) -2 = 0, calculeen forma aproximada f(0.98, 0.03).Rta: 1.91 \ldots
    2. (Final 18/08/2009 4)
      Siendo z=f(x,y) definida implícitamente por zx + yz^2 + \ln(z-2y) - 15 = 0, calculeaproximadamente f(1.97, 1.09).Rta: 2.94\ldots

Función compuesta

  1. (Final 26/05/2011 E1)
    Siendo h(x,y) = f(x^2 - y, xy^2), calculeaproximadamente h(2.01, 0.99) sabiendo que la superficie de ecuación z = f(u,v) tiene plano tangente de ecuación u + 2v -z = 5 en el punto (3,2,z_0).Rta: 1.99\ldots
  2. (Final 14/12/2009 2.b)
    La superficie \Sigma tiene ecuación z = h(x,y) donde h(x,y) = f(xy, 2x^2) con f \in C^1, halle la ecuación del plano tangente a \Sigma en (1,1,z_0) sabiendo que \nabla f(1,2) = (2,3) y que f(1,2) = 4Rta: z = 4 + 14(x-1) + 2(y-1)
  3. (Final 6/12/2010 1.a)
    Suponiendo que se cumplen las hipótesis del teorema (de la regla de la cadena), analicesi la recta normal a la superficie de ecuación z=f(\vec{g}(x,y)) en el punto \vec{A}=(1,2,1) interseca al plano xz, sabiendo que: f(u,v) = uv+v^2, \vec{g} es diferenciable, \vec{g}(1,2) = (0,1) y la matriz jacobiana D\vec{g}(1,2) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}Rta: Intersecta al plano en el punto \left( \frac{5}{13}, 0, \frac{15}{13} \right)
  4. (Final 19/07/2011 E1)
    Dada la superficie \Sigma de ecuación z=h(x,y), analicesi su recta normal en \vec{A} = (1,3,7) \in \Sigma tiene algún punto en común con el plano xz. Considere que h(x,y) = f(xy, 2y) con f \in C^1 y que la máxima derivada direccional de f en (3,6) es f'((3,6), \hat{r}_{max}) = 5 con \hat{r}_{max} = (0.6, 0.8)Rta: Intersecta al plano en el punto \left( \frac{-16}{11}, 0, \frac{80}{11} \right)

TP12 – Polinomio de Taylor y Extremos

  1. (Final 27/05/2010 2.a)
    Dada f(x,y) = (x-1)^4 + (y-2)^2 + 4 verifiqueque f produce un extremo local y clasifíquelo.Rta: Mínimo relativo y absoluto en A=(1,2)
  2. (Final 27/05/2010 2.b)
    Dada f(x,y) = 6x^2 + 12xy + 4y^3 + 3, analice y clasifique extremos locales de los valores de f. Para cada f(x_0, y_0) que resulte extremo, determineel punto de intersección del plano tangente en (x_0, y_0, f(x_0, y_0) ) a la superficie de ecuación z=f(x,y) con la curva de ecuación \vec{X} = (u, \cos(u-2), u-1) con u \in \mathbb{R}Rta: mínimo relativo en (-1,1), y la curva intersecta al plano en (2,1,1)
  3. (Final 27/12/2010 4)
    Dada la superficie \Sigma de ecuación z = x^2 + xy^2 + 2y^2, calcule el área del triángulo cuyos vértices son los puntos donde \Sigma tiene plano tangente horizontal (paralelo al plano xy).Rta: 4 \sqrt{5}

TP07 – Integral de Línea y Función Potencial

Circulación

    1. 1.) (Final 26/05/2011 E3)
      Dada la curva C como intersección de las superficies de ecuaciones y=x^2, z=4-x^2, calculela circulación de \vec{f} a lo largo de C desde (2,4,0) hasta (0,0,4), sabiendo que \vec{f}(x,y,z) = (z, 2x, 3y).Rta: 8
    2. (Final 27/05/2010 3)
      Sea C la curva dada por la intersección de z=x+2y con y^2 + z=8 en el 1º octante, calculela circulación de \vec{f}(x,y,z) = (2,y, 3z) desde (x_0, 2, z_0) hasta (x_1, 0, z_1).Rta: La circulación es 86.
    3. (Final 20/07/2010 2.b)
      Dado \vec{f}(x,y) = (2xy, x), calculela circulación de \vec{f} desde (1,1) hasta (4,2), a lo largo de la línea de campo de \vec{f} que pasa por dichos puntos.Rta: La circulación es \frac{407}{15}
    4. (Final 6/12/2010 3)
      Calculela circulación de \vec{f} a lo largo de la curva C desde (-2,2,z_0) hasta (0,1,z_1), cuando C es la intersección de las superficies de ecuaciones: z+x=y, z-x=2y^2 - y; siendo \vec{f}(x,y,z) = (y, 2x, z)Rta: La circulación es -\frac{8}{3}
    5. (Final 20/12/2010 2.b)
      Calculeel trabajo del campo de fuerzas \vec{f} a lo largo del segmento \overline{AB}, desde \vec{A} = (1,3,2) hasta \vec{B}=(2,3,0), sabiendo que \vec{f}=rot(\vec{g}) con\vec{g}(x,y,z) = (x-yz-h(x-y), y+h(x-y), y^2); suponga \vec{g} \in C^1.Rta: 4
    6. (Final 27/05/2009 3)
      Sea r_0 la recta normal a la superficie de ecuación z = x^2 + y^2 en el punto \vec{A}=(1,1,z_0), sea \vec{B} el punto donde r_0 interseca al plano xy. Dado \vec{f}(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z), calculela circulación de f a lo largo de r_0 deade \vec{A} hasta \vec{B}.Rta: 32

Función potencial

  1. (Final 27/12/2010 3)
    Sea \vec{f} un campo de fuerzas conservativo tal que \vec{f}(x,y) = (y+y^2, x+2xy+1), calcule la circulación de \vec{f} a lo largo de una curva C desde \vec{A} = (1,1) hasta \vec{B}=(3,2) usando función potencial.Rta: 17
  2. (Final 14/12/2009 1.b)
    Dado f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 tal que f(x,y,z) = (1, h(x) + z - 2x, y) con f(1,1,1) = (1,2,1), halle h(x) tal que la integral de línea de f a lo largo de una curva C desde A hasta B no dependa de la curva C que se utilice.Rta: h(x) = 2x+1
  3. (Final 19/07/2011 E2)
    Sea \vec{f}(x,y) = (y^2 - 2x, 2xy+4y), halle una función potencial \phi para \vec{f} tal que \phi(0,0) = 4 y calculela integral de línea de \vec{f} a lo largo de una curva C desde (1,2) hasta (3,5).Rta: 105
  4. (Final 27/05/2010 4)
    Dado el campo de gradientes \vec{f}(x,y) = (2x, 2y) con función potencial \phi tal que \phi(0,0) = 4, calculemediante una integral doble el área de la región plana limitada por las curvas equipotenciales de potencial 5 y de potencial 8.Rta: El área es 3\pi.
  5. (Final 6/12/2010 2.b)
    Sea \vec{f}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 un campo de fuerzas conservativo, si xy = Cx + 1 es la ecuación cartesiana de su familia de líneas equipotenciales, halleuna ecuación cartesiana para la línea de campo que pasa por el punto (1,2).Rta: y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{3}

TP08 – Integrales Múltiples

  1. (Final 19/07/2011 E4)
    Sabiendo que \iint_D f(x,y) dxdy = 8, siendo D la región limitada por la curva de ecuación y=x^2 y su recta normal en el punto (1,1), calcule\iint_D 2x + 5f(x,y) dxdy.Rta: \frac{3715}{96}
  2. (Final 21/12/2009 4)
    Calcule mediante una integral doble el área de la región plana limitada por y = -2x^2 y la curva solución de y' + y = x que pasa por (1,0)Rta: \frac{9}{8}
  3. (Final 27/05/2009 1.a)
    Siendo \iint_{D_{xy}} x+y dxdy = 9, ante un cambio de variables definido por (x,y) = (u+v, v-u), ¿cuál será el valor de \iint_{D_{uv}} 8v dudv ?Rta: 18
  4. (Final 10/03/2011 2.a)
    Aplique las coordenadas polares para calcular la integral doble de f(x,y) = x^2/(x^2 + y^2) en la región plana definida por -x \leq y \leq x, x \leq 1.Rta: \frac{\pi}{4}
  5. (Final 02/08/2011 T1)
    Dada \int_{-\pi/4}^{\pi/4} d\phi \int_{0}^{4/\cos(\phi)} \rho^2 \cos(\phi) d\rho planteada en coordenadas polares, dibuje la correspondiente región de integración en el plano xy, plantee y resuelva la integral en coordenadas cartesianas.
    Rta: \frac{128}{3}
  6. (Final 26/05/2011 E2)
    Calcule el volumen del cuerpo definido por: y \geq x^2, x \geq y^2, z \leq 48xy, en el 1º octante.Rta: 4
  7. (Final 27/12/2010 2.b)
    Calculela masa del cuerpo definido por z \leq \sqrt{x^2 + y^2} con 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4 en el 1º octante, si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z.Rta: \frac{15}{8} k\pi.
  8. (Final 20/12/2010 2.a)
    Calculeel área(D_{xy}) sabiendo que a través del cambio de variables definido por (x,y) = (u+2v, 3u+v), la región D_{xy} se transforma en D_{uv} con área(D_{uv}) = 4.Rta: 20
  9. (Final 20/07/2010 3)
    Calcule el volumen del cuerpo definido por: x^2 + z^2 \leq 9, y \geq x, y \leq 14-x^2-z^2.Rta: El volumen es \frac{171}{2}\pi
  10. (Final 6/12/2010 4)
    Calculeel volumen del cuerpo definido por: y \leq x^2, x^2 + z^2 \leq 16, 1º octante.Rta: El volúmen es 16\pi.

TP09 – Integrales de Superficie y Flujo

  1. (Final 24/09/2010 3)
    Calcule el área del trozo de superficie cónica de ecuación z^2 = x^2 + y^2 cuyos puntos cumplen con x^2 + y^2 + z^2 \leq 18.Rta: 18 \sqrt{2} \pi
  2. (Final 14/12/2009 3)
    Calcule el área del trozo de plano de ecuación z = 1 + 2x con 2 + 2x - x^2 - y^2 \leq z \leq 5 + 2x - x^2 - y^2Rta: 3 \sqrt{5} \pi
  3. (Final 20/12/2010 3)
    Calcule el flujo de \vec{f}(x,y,z) = (x,y,z) a través del trozo de superficie abierta \Sigma de ecuación z=1+x^2+2y^2 con z \leq 2. Indiquegráficamente cómo ha decidido orientar a \Sigma.Rta: - \frac{\sqrt{2} \pi }{4}
  4. (Final 10/03/2011 3)
    Siendo \vec{f}(x,y) = (xz, yz, z^2), calcule el flujo de \vec{f} a través de la superficie abierta de ecuación x^2 + y^2 + z^2 = 5 con z \geq 1 + x^2 + y^2, indicandográficamente la orientación que ha elegido para la superficie.Rta: 5\pi
  5. (Final 18/08/2009 3)
    Calculeel área del trozo de superficie cilíndrica de ecuación x^2 + z^2 = 5 con z \geq x^2, y \leq x en el 1º octante.Rta: 5 - \frac{5}{2}\sqrt{105} + \frac{\sqrt{5}}{2}

TP10 – Teoremas integrales (Green, Stokes, Gauss)

Green

    1. (Final 24/09/2010 2.a)
      Dado f(x,y) = (2xy, x^2-3x), calcule la circulación en sentido positivo de f a lo largo de la frontera de una región simple D, sabiendo que area(D) = 6Rta: -18 en sentido antihorario.
    2. (Final 20/12/2010 4)
      Dado \vec{f}(x,y) = (x, xy) calcule\oint_{C^+} \vec{f} \cdot \vec{ds}, siendo C la frontera de la región plana acotada que está limitada por el conjunto de nivel 5 de h(x,y) = 5 + (y-x^2)(y-2x^2+4).Rta: - \frac{128}{15}
    3. (Final 27/05/2009 1.b)
      Dado \vec{f}(x,y) = (x^2y + g(x), x^3), calcule \oint_{C^+} \vec{f} \cdot \vec{ds} cuando C es la curva frontera de la región plana D definida por 9x^2 + y^2 \leq 9; suponga que \vec{f} tiene derivadas parciales contínuas.Rta: \frac{3}{2}\pi

Rotor

    1. (Final 20/07/2010 1.a)
      Aplicar el teorema de Stokes para calcular la \oint_{C^+} \vec{f} \cdot \vec{ds} siendo C una circunferencia en el plano z=5 con centro en (0,0,5) y radio 2, cuando \vec{f}(x,y,z) = (\phi(y), x\phi'(y) + xz, xy) con \phi'' contínua; indiquegráficamente cuál es el sentido de circulación que considera.Rta: Circulación 20\pi tomando versor normal (0,0,1)
    2. (Final 20/07/2010 1.b)
      Calcule la circulación de \vec{f} a lo largo de la curva intersección de z = x^2 + y^2 con z = 18-x^2-y^2, sabiendo que D\vec{f} es la matriz jacobiana del campo. Indiquegráficamente cómo ha orientado la circulación. D\vec{f}(x,y,z) = \begin{pmatrix} 1 & z & y \\ y & x & 1 \\ z & 1 & x \end{pmatrix}Rta: Circulación -81\pi tomando versor normal (0,0,1)

Divergencia

  1. (Final 19/07/2011 E3)
    Siendo \vec{f}(x,y,z) = (g(y) + z, g(x) + z, 2+z) con g' contínua, calcule el flujo de \vec{f} a través de la superficie de ecuación z = \sqrt{4-x^2 - y^2}; indiquegráficamente cómo ha decidido orientar a la superficie.Rta: \frac{40}{3}\pi
  2. (Final 26/05/2011 T2)
    Calcule\iint_{\Sigma} \vec{f} \cdot \hat{n} d\sigma siendo \Sigma la superficie de ecuación z = \sqrt{4 - x^2 - y^2} orientada hacia z^+, sabiendo que div \vec{f}(x,y,z) = 4, \vec{f}(x,y,0) = (x,xy,3). Suponga que \vec{f} cumple las hipótesis del teorema de la divergencia.Rta: \frac{100}{3}\pi
  3. (Final 18/08/2009 1.a)
    Sea f \in C^2(\mathbb{R}^2) un campo escalar tal que f = g+h con h armónico y g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2, calculeel flujo de \nabla f a través de la frontera del cuerpo definido por: x^2 + y^2 \leq 4, |z| \leq 3.Rta: 144\pi
  4. (Final 27/05/2010 1.b)
    Sea \vec{f} \in C^1 tal que \vec{f}(x,y,z) = (2x,1,z) + \vec{g}(x,y,z) con \vec{g} solenoidal. Calcule el flujo de \vec{f} a través de la superficie abierta \Sigma de ecuación z = \sqrt{4-x^2 - y^2} sabiendo que \vec{g}(x,y,0) = (x-y, y-x, x^2); indiquegráficamente como a decidido orientar a \Sigma.Rta: 20 \pi
  5. (Final 6/12/2010 1.b)
    Siendo \vec{f}(x,y,z) = (xy g(x-y), xy g(x-y), z^2 - (x+y) z g(x-y) ), calculeel flujo de \vec{f} a través de la superficie \partial H frontera de H definido por: \sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq 6 - x^2 - y^2; con \partial H orientada en sentido saliente de H.Rta: Flujo saliente \frac{184}{3}\pi
  6. (Final 27/12/2010 1.b)
    Dado \vec{f}(x,y,z) = (g(x), yg(x), zg(x)) con g \in C^1, halleg(x) de manera que el flujo de \vec{f} a través de la superficie frontera de un cuerpo resulte numéricamente igual al doble del volumen del cuerpo. Suponga \vec{f}(\vec{0}) = (2,0,0).Rta: g(x) = 1+e^{-2x}
  7. (Final 27/05/2009 4)
    Calcule el flujo de f = g + h \in C^1 a través de la frontera \Sigma del cuerpo definido por 2 \leq z \leq 18-x^2-y^2, suponiendo: g solenoidal y h(x,y,z) = (y-z,x-z,2z-x). Indiquegráficamente la orientación que adopta para \SigmaRta: 256\pi con dirección saliente.

TP11 – Ecuaciones Diferenciales de 2º Orden

    1. (Final 26/05/2011 E4)
      Sea C la curva de ecuación \vec{X} = (2t, u(t), u'(t)) con t \in \mathbb{R}. Sabiendo que C pasa por el punto (0,2,3), halleu(t) tal que la recta tangente a C en cada punto sea paralela a un vector del tipo (1, m(t), m(t)) para todo t \in \mathbb{R}.Rta: u(t) = 3e^t - 1
    2. (Final 14/12/2009 1.a)
      Sabiendo que y = 2x es una SP de y'' - y = f(x), halle la SP tal que y(0)=2, y'(0) = 0.Rta: y(x) = 2e^{-x} + 2x
    3. (Final 27/05/2010 4)
      Calculemediante una integral doble el área de la región plana limitada por x+y=2, x=4, y=f(x), siendo esta última la solución particular de y'' + y' - 6y = 0 que en (0, y_0) tiene recta tangente de ecuación y = 4x+2.Rta: El área pedida es e^8 - 1
    4. (Final 29/10/2009 3)
      Calcule mediante una integral doble el área de la región plana definida por 0 \leq y \leq f(x), 0 \leq x \leq 2\pi, siendo y = f(x) la solución particular de y'' + y = 1 que en el punto (0,2) tiene recta tangente de ecuación y=2.Rta: 2\pi

Lineas de campo

  1. (Final 27/05/2009 2.b)
    Dado f(x,y) = (xy, y-2), halle una ecuación cartesiana para la línea de campo de \vec{f} que pasa por \vec{A}=(1,3); indiquegráficamente la orientación de dicha línea en \vec{A} (sólo gráfico indicativo, no se pide que grafique la línea).Rta: y + 2\ln(y-2) = \ln(x) + 3
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