Tp.6 Ej.3

Si z = 2uv - 2\sqrt{v-u} con:
u=x-y^2
v=x+2xy-1
resulta z = h(x,y)

a) Reconozca las funciones f y g que generan h = f \circ g
b) Calcule la derivada direccional de h en (2,1), en la dirección que va hacia el (5,5).
c) Sea n_0 la recta normal a la gráfica de h en (2,1,z_0); exprese n_0 como la intersección de dos superficies.
d) Analice si la recta n_0 mencionada en “c” tiene algún punto en común con el eje z.

Solución:

a)

Dadas las funciones
g(x,y) = (x-y^2, x+2xy-1)
f(u,v) = 2uv - 2\sqrt{v-u}

Resulta
z = h(x,y) = (f \circ g)(x,y)

b)
En el punto resulta
(x,y) = (2,1) \to (u,v) = (1, 5) \to z=6

Veamos la jacobiana:
Dh = Df \circ Dg

Dg = \begin{pmatrix} 1 & -2y \\ 1+2y & 2x \end{pmatrix}

Dg(2,1) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

Df = \begin{pmatrix} 2v + \frac{1}{\sqrt{v-u}} & 2u - \frac{1}{\sqrt{v-u}}\end{pmatrix}

Df(1,5) = \begin{pmatrix} \frac{21}{2} & \frac{3}{2}\end{pmatrix}

Dh(2,1) = Df(1,5) \circ Dg(2,1)
= \begin{pmatrix} \frac{21}{2} & \frac{3}{2}\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

= (15, -15)

Si vamos del punto (2,1) al (5,5) la dirección es paralela al (5-2, 5-1) = (3,4)

Por lo tanto f'((2,1), (3,4)/5) = (15,-15) \cdot (\frac{3}{5},\frac{4}{5})
= -3

c)
Debemos calcular la recta normal. Primero observemos que el plano tangente es:

z = 6 + 15(x-2) - 15(y-1)
z = 6 + 15x - 30 - 15y + 15
15x - 15y - z = 9

Por lo tanto un vector normal al plano y tangente a la recta es el (15,-15,-1)

La recta normal resulta ser:
r(t) = (2,1,6) + t(15,-15,-1)
= (2+15t, 1-15t, 6-t)

x = 2+15t
y = 1-15t
z = 6-t

Por lo tanto podemos escribir la recta como intersección de las dos superficies:
x+y=3
x + 15z = 92

d)
Para que tenga intersección con el eje z, debe cumplirse simultáneamente que x=y=0

0 = 2+15t
0 = 1-15t

Pero
-2/15 \neq 1/15
Por lo tanto no intersecta al eje z.

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4 respuestas a Tp.6 Ej.3

  1. Matias dijo:

    Hola Damian,

    te hago una pregunta, no entiendo cuando vos pones..

    Si vamos del punto (2,1) al (5,5) la dirección es paralela al (5-2, 5-1) = (3,4)

    Por lo tanto f'((2,1), (3,4)/5) = (15,-15) \cdot (\frac{3}{5},\frac{4}{5})
    = -3

    … no fui el viernes y no entiendo xq restas el pto.

    gracias!

    • damidami dijo:

      Hola Matías,

      Lo que dice el punto b) no es que saques la derivada respecto del vector (5,5), sino “en la dirección que va hacia el (5,5)“.
      Es decir que hay que pensar el (5,5) no como un vector, sino como un punto.
      Quiere la derivada en la dirección que parte del punto (2,1) y termina en el punto (5,5), para sacar ese vector es que resto estos puntos.
      Cualquier cosa no dudes en volver a preguntar.

      Saludos,
      Damián.

  2. Matias dijo:

    Lo dividiamos por la norma para que sea un versor no?, en este caso no podria poner directamente (3,4). Gracias!!

    • damidami dijo:

      Claro, porque lo que pide es una derivada direccional en esa dirección, y la definición de derivada direccional pide que se tome como versor al vector director.

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