Final 27/05/2010

Pongo los resultados que daban los ejercicios:
1)
a) El flujo daba 0 por el teorema de la divergencia.
b) El flujo saliente del total era 16\pi, el flujo de la “tapa” era -4\pi y por ende el flujo pedido era 20\pi
2)
a) Hay mínimo relativo y absoluto en (x_0,y_0)=(1,2)
b) Quedaban dos puntos críticos A=(0,0) (que no es extremo) y B=(-1,1) que era el mínimo relativo.
La curva intersecta al plano en el punto P=(2,1,1)
3) La circulación daba 86
4) El área pedida era 3\pi

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38 comentarios en “Final 27/05/2010

    • Hola Picci,
      Estos días ando con menos tiempo que antes por eso ya no resuelvo los finales enteros.
      Igual me parece bien poner solo las respuestas para que puedan verificar si les dió bien, al intentar resolverlo aprendés mas que al leer la resolución.
      De todas formas este final no era difícil, si tenés alguna duda de algún ejercicio en particular me podés preguntar.
      Saludos.

  1. Hola te hago una consulta del ejercicio 1b yo me presente en este final y lo resolví mal .

    la integral triple para resolver el flujo de la semi esfera me habia quedado asi: (Espero que se entienda el latex)

    \int_{0}^{2}dr .r \int_{0}^{2\pi}d\Theta  \int_{0}^{(4-x^2- y^2)^{1/2}} div(2x,1,z) dz

    creo que el profesor me dijo que tenia mal los limites de integración
    muchas gracias
    Eduardo

    • Hola Eduardo,
      Escrito de esa forma sería un abuso de notación, porque integrás en coordenadas cilíndricas del tipo
      x = \rho \cos(\phi)
      y = \rho \sin(\phi)
      z=z

      Pero en tu integral aparecen \rho, \phi, z, x, y y.

      Además, como la divergencia te da 3 (constante), sale afuera de la integral así que se trata simplemente de 3 veces el volumen de la semiesfera (ni siquiera hacía falta la integral si sabías que el volumen de una esfera es \frac{4}{3}\pi \rho^3, por lo tanto el volumen de la semiesfera es \frac{4}{6}\pi \rho^3, y para la semiesfera de radio 2 sería volumen \frac{16}{3}\pi. Para el flujo saliente de la semiesfera falta multiplicar por 3, y de ahí sale el 16\pi)

      Si de todas formas querías hacerlo integrando en cilíndricas, el flujo sobre todas la semiesfera sería
      3 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^2 \rho d\rho \int_0^{\sqrt{4-\rho^2}} dz
      O mas fácil, integrando en esféricas:
      3 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \sin(\theta) d\theta \int_0^2 \rho^2 d\rho

      Salvo por eso estaría bien planteada la integral, vos la terminastes y te dió bien?

      Saludos,
      Damián.

  2. Damian, en el examen la integral la habia hecho en coordenadas cilíndricas como la primer integral que pusiste, debo haber tenido algun cálculo mal….

    Muchas gracias por la respuesta
    saludos!

    • Hola Santiago,
      La “tapa” es la circunferencia de radio 2 sobre el plano xy centrada en el origen.
      El campo sobre la superficie lo obtenés directamente sumando los dos campos vectoriales que te dan.
      Y hacés la integral de flujo directa de ese campo sobre esa superficie de “tapa”, seguramente convenga pasar a polares en algún momento.
      Saludos,
      Damián.

  3. Hola Damián que tal, te quería preguntar sobre el ejercicio 4, a qué se refiere exactamente con “curvas equipotenciales de potencial 5 y de potencial 8”?

    Gracias.

  4. Hola damian, te queria preguntar del ej 1a que f sea armonico yo tenia entendido q el gradiente ^ 2 = 0 pero no se bien como usaro ahi y como hiciste para que de 0.

    Muchas gracias, saludos.
    Santiago.

    • Hola Santiago,
      Que el campo sea armónico no significa “gradiente ^ 2 = 0” sino
      \nabla \cdot \nabla f(x,y,z) = 0
      es decir que la divergencia del gradiente es cero. Capaz te confundistes porque se lo suele denotar como
      \nabla^2 f(x,y,z) = 0
      En el ejercicio pide el flujo de \nabla f sobre una superficie cerrada, si empleás el teorema de la divergencia te queda 0 precisamente porque el campo es armónico.
      Es un ejercicio mas que nada teórico, para ver como lo justifican, no hay que hacer cuentas ni nada.
      Saludos,
      Damián.

  5. Disculpame, estoy estudiando para dar el final y queria saber una cosa del ejercicio nº 3: ya que no es posible realizar el rotor, igualé las dos ecuaciones para dar con la curva intersección : (y+1)^2 + x =9; una vez realizada la parametrización g(t) = (9-(t+1)^2, t ) calculé la circulación como se debe f[g(t)].g'(t) entre 0 y 2. Luego de calcularla no me dio 86. Quisiera saber donde está mi error de concepto.

    Gracias
    Hernan

    • Hola Hernán,
      Fijate que la curva que te dan está en el espacio, y la parametrización que me das es de una curva en el plano, es decir, tenés mal la parametrización.
      Tratá poniendo x y z en función de y.
      Ok, vi un toque tarde que ya lo habías solucionado 😉
      Saludos,
      Damián.

    • Mariano, no te respondí antes porque estuve de viaje,
      La verdad no me acuerdo pero casi seguro no es extremo porque así lo indicaba el criterio del Hessiano.

  6. Hola, te hago una pregunta en el 1b, cuando se saca el flujo en la tapa queda
    \int \int (2x,1,z) . (0,0,-1) = \int \int -z dx dy

    El -z porque valor lo tendria que cambiar, por 0 que es a la altura donde esta la proyeccion xy, pero asi no me daria -4pi

    • Sebastián, no te respondí antes porque estuve de viaje.
      El valor de z lo tenés que cambiar por el que vale la superficie para ese valor de x e y. Al tomar como tapa al plano xy, entonces z vale 0.
      Te confundistes en el campo, te faltó sumar g.

  7. Tengo la siguiente duda, para el ejercicio 1b, sacamos el flujo de la superficie cerrada con la divergencia, luego le restamos la tapa, que seria una circunferencia de radio 2 en el plano z=2

    que no sería la integral doble del campo x el gradiente de la superficie?? Cómo es que llega a dar 4pi?
    Solo daría 4pi si hicieramos http://l.wordpress.com/latex.php?latex=\int+\int+rdrd\theta+&bg=ffffff&fg=000000&s=0

    pero en este caso tenemos un campo actuando sobre esta superficie

    • Hola Mariel,
      Da toda la impresión de que la hicistes en el sentido contrario. Fijate que empieza en (x_0, 2, z_0) y termina en (x_1, 0, z_1)
      Según como parametrizastes, puede que tengas que cambiar el signo a la circulación para que te dé en el sentido correcto.
      (O reparametrizar la curva en el sentido contrario, pero cuesta más trabajo)

  8. Dami, te escribo para hacerte una consulta del ejercicio 4.
    Tengo dudas sobre la resolucion. Lo pense de la siguiente manera:
    1- Resolvi la siguiente ecuacion diferencial exacta: 2x dx +2y dy=0
    2- El resultado al que llego es Q(x,y)= x^2+y^2=C
    3-el enunciado da como dato que Q(0,0)=4 entonces llego a que C=4.
    4-Luego me pide el area limitada por las curvas equipotenciales 5 y 8 entonces planteo x^2+y^2+4 = 5 y x^2+y^2+4 = 8
    5- Me quedan dos circunferencias, ambas con centro en (0,0) una de radio 1 y la otra de radio 2.
    6-Calculo el area de cada una: C1 = pi y C2=4pi
    7- El area es igual 4pi -1pi = 3pi

    Es correcto?

    Gracias!!!!

    • Hola Agos,
      La idea general la tenés, pero puedo hacer algunas aclaraciones:

      (1) En los puntos 1- y 2-, no se porqué planteas la ec. dif. exacta, lo que había que hacer es encontrar la función potencial \phi(x,y) = x^2 + y^2 + c
      (Fijate que en el paso 2- igualás a c, pero después cuando te da 4 la agregás sumando “mágicamente”).

      (2) En el paso 6- lo que calculás no es el area de una “circunferencia” (que sería 0) sinó el área de la región que encierra la circunferencia.

      (3) El paso 7- está bien el resultado, claro que el enunciado pedía hacerlo con integrales dobles.
      (Lo podés hacer con una sola integral doble, o haciendo las dos integrales dobles en el paso 6- y restando).

      Saludos,
      Damián.

  9. hola Dami, te comento en el ej 3 la parametrizacion me queda (-t^2-2t+8, t, 8-t^2) de 2 a 0 pero no me da 86, esta bien la parametrizacion?? o como se hace? gracias!!

  10. Hola! tengo una duda… en el 2a) me da que hay un Extremo relativo en (1,2) como a vos, ya que el gradf = (4(x-1)³;2(y-2)) en (1,2) = (0,0) pero luego hago la matriz:
    [ f”xx f”xy] = [12(x-1)² 0]
    [f”xy f”yy] = [ 0 2]

    reemplazando en el (1,2) me queda:
    [ 0 0 ]
    [ 0 2 ] => el determinante es 0 y f”xx = 0 =>por que decis que es minimo? seguro le pifie a algo porque salta a la vista que es minimo, pero quiero saber en que pifie…

    • Hola Mariano,
      Si el criterio del hessiano no decide tenés que justificar de otra forma el mínimo, como por ejemplo diciendo que la función nunca es negativa por calcularse como suma de potencias pares.
      En este caso nunca es menor que 4, y justo vale 4 en el (1,2), luego es el mínimo.
      Saludos,
      Damián.

  11. Hola Damián, te hago una consulta cómo sumo los campos f y g en e ejercicio 1b) ya que no hay manera de llegar al -4pi y me falta ese concepto para entenderlo! gracias.

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