Pongo los resultados que daban los ejercicios:
1)
a) El flujo daba 0 por el teorema de la divergencia.
b) El flujo saliente del total era 
2)
a) Hay mínimo relativo y absoluto en
b) Quedaban dos puntos críticos 
La curva intersecta al plano en el punto
3) La circulación daba 86
4) El área pedida era
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No tenes la resolucion?
Hola Picci,
Estos días ando con menos tiempo que antes por eso ya no resuelvo los finales enteros.
Igual me parece bien poner solo las respuestas para que puedan verificar si les dió bien, al intentar resolverlo aprendés mas que al leer la resolución.
De todas formas este final no era difícil, si tenés alguna duda de algún ejercicio en particular me podés preguntar.
Saludos.
Hola te hago una consulta del ejercicio 1b yo me presente en este final y lo resolví mal .
la integral triple para resolver el flujo de la semi esfera me habia quedado asi: (Espero que se entienda el latex)
creo que el profesor me dijo que tenia mal los limites de integración
muchas gracias
Eduardo
Hola Eduardo,
Escrito de esa forma sería un abuso de notación, porque integrás en coordenadas cilíndricas del tipo
Pero en tu integral aparecen
, 
, 
, 
, y 
.
Además, como la divergencia te da 3 (constante), sale afuera de la integral así que se trata simplemente de 3 veces el volumen de la semiesfera (ni siquiera hacía falta la integral si sabías que el volumen de una esfera es
, por lo tanto el volumen de la semiesfera es 
, y para la semiesfera de radio 2 sería volumen 
. Para el flujo saliente de la semiesfera falta multiplicar por 3, y de ahí sale el 
)
Si de todas formas querías hacerlo integrando en cilíndricas, el flujo sobre todas la semiesfera sería
O mas fácil, integrando en esféricas:
Salvo por eso estaría bien planteada la integral, vos la terminastes y te dió bien?
Saludos,
Damián.
Damian, en el examen la integral la habia hecho en coordenadas cilíndricas como la primer integral que pusiste, debo haber tenido algun cálculo mal….
Muchas gracias por la respuesta
saludos!
Hola Damian, sobre el punto 1b queria saber como es q se hace lo de la tapa para que de -4Pi
Gracias, Santiago.
Hola Santiago,
centrada en el origen.
La “tapa” es la circunferencia de radio 2 sobre el plano
El campo sobre la superficie lo obtenés directamente sumando los dos campos vectoriales que te dan.
Y hacés la integral de flujo directa de ese campo sobre esa superficie de “tapa”, seguramente convenga pasar a polares en algún momento.
Saludos,
Damián.
Hola Damián que tal, te quería preguntar sobre el ejercicio 4, a qué se refiere exactamente con “curvas equipotenciales de potencial 5 y de potencial 8”?
Gracias.
Hola Nicolás,
y 
Las curvas equipotenciales son las curvas de nivel, es decir se refiere a las curvas
Saludos,
Damián.
Hola damian, te queria preguntar del ej 1a que f sea armonico yo tenia entendido q el gradiente ^ 2 = 0 pero no se bien como usaro ahi y como hiciste para que de 0.
Muchas gracias, saludos.
Santiago.
Hola Santiago,
sobre una superficie cerrada, si empleás el teorema de la divergencia te queda 0 precisamente porque el campo es armónico.
Que el campo sea armónico no significa “gradiente ^ 2 = 0” sino
es decir que la divergencia del gradiente es cero. Capaz te confundistes porque se lo suele denotar como
En el ejercicio pide el flujo de
Es un ejercicio mas que nada teórico, para ver como lo justifican, no hay que hacer cuentas ni nada.
Saludos,
Damián.
Disculpame, estoy estudiando para dar el final y queria saber una cosa del ejercicio nº 3: ya que no es posible realizar el rotor, igualé las dos ecuaciones para dar con la curva intersección : (y+1)^2 + x =9; una vez realizada la parametrización g(t) = (9-(t+1)^2, t ) calculé la circulación como se debe f[g(t)].g'(t) entre 0 y 2. Luego de calcularla no me dio 86. Quisiera saber donde está mi error de concepto.
Gracias
Hernan
encontre el problema, estaba olvidandome de la coordenada z que se reduce a z= 8- t^2
Gracias de todas formas!!!
Hernan
Hola Hernán,
y 
en función de 
.
Fijate que la curva que te dan está en el espacio, y la parametrización que me das es de una curva en el plano, es decir, tenés mal la parametrización.
Tratá poniendo
Ok, vi un toque tarde que ya lo habías solucionado 😉
Saludos,
Damián.
hola damián, te hago una pregunta, el 2b, el (0,0) pq no es extremo?
gracias
Mariano, no te respondí antes porque estuve de viaje,
La verdad no me acuerdo pero casi seguro no es extremo porque así lo indicaba el criterio del Hessiano.
Hola, te hago una pregunta en el 1b, cuando se saca el flujo en la tapa queda
El -z porque valor lo tendria que cambiar, por 0 que es a la altura donde esta la proyeccion xy, pero asi no me daria -4pi
Sebastián, no te respondí antes porque estuve de viaje.
El valor de z lo tenés que cambiar por el que vale la superficie para ese valor de x e y. Al tomar como tapa al plano xy, entonces z vale 0.
Te confundistes en el campo, te faltó sumar g.
Los ejercicios 3 y 4 eran un regalito!
Tengo la siguiente duda, para el ejercicio 1b, sacamos el flujo de la superficie cerrada con la divergencia, luego le restamos la tapa, que seria una circunferencia de radio 2 en el plano z=2
que no sería la integral doble del campo x el gradiente de la superficie?? Cómo es que llega a dar 4pi?
Solo daría 4pi si hicieramos http://l.wordpress.com/latex.php?latex=\int+\int+rdrd\theta+&bg=ffffff&fg=000000&s=0
pero en este caso tenemos un campo actuando sobre esta superficie
Una Consulta , no se porque no encuentro el error, pero a mi la circulacion del punto 3 me da -86
Hola Mariel,
y termina en 
Da toda la impresión de que la hicistes en el sentido contrario. Fijate que empieza en
Según como parametrizastes, puede que tengas que cambiar el signo a la circulación para que te dé en el sentido correcto.
(O reparametrizar la curva en el sentido contrario, pero cuesta más trabajo)
claro pero en la integral yo no puedo poner de 2 a 0 o si??
Te va a dar lo mismo pero no queda muy lindo. Algunos profesores lo consideran un error. Mi recomendación es que pongas
En el 2)b) saque ya los extremos, como hago la 2da parte, la que me pide el punto de interseccion? Alguna pista? Gracias, Juan Manuel
Dami, te escribo para hacerte una consulta del ejercicio 4.
Tengo dudas sobre la resolucion. Lo pense de la siguiente manera:
1- Resolvi la siguiente ecuacion diferencial exacta: 2x dx +2y dy=0
2- El resultado al que llego es Q(x,y)= x^2+y^2=C
3-el enunciado da como dato que Q(0,0)=4 entonces llego a que C=4.
4-Luego me pide el area limitada por las curvas equipotenciales 5 y 8 entonces planteo x^2+y^2+4 = 5 y x^2+y^2+4 = 8
5- Me quedan dos circunferencias, ambas con centro en (0,0) una de radio 1 y la otra de radio 2.
6-Calculo el area de cada una: C1 = pi y C2=4pi
7- El area es igual 4pi -1pi = 3pi
Es correcto?
Gracias!!!!
Hola Agos,
La idea general la tenés, pero puedo hacer algunas aclaraciones:
(1) En los puntos 1- y 2-, no se porqué planteas la ec. dif. exacta, lo que había que hacer es encontrar la función potencial
, pero después cuando te da 
la agregás sumando “mágicamente”).
(Fijate que en el paso 2- igualás a
(2) En el paso 6- lo que calculás no es el area de una “circunferencia” (que sería 0) sinó el área de la región que encierra la circunferencia.
(3) El paso 7- está bien el resultado, claro que el enunciado pedía hacerlo con integrales dobles.
(Lo podés hacer con una sola integral doble, o haciendo las dos integrales dobles en el paso 6- y restando).
Saludos,
Damián.
hola Dami, te comento en el ej 3 la parametrizacion me queda (-t^2-2t+8, t, 8-t^2) de 2 a 0 pero no me da 86, esta bien la parametrizacion?? o como se hace? gracias!!
Es correcta esa parametrización, habria que ver el desarrollo de tus cuentas, la integral a resolver es
Hola! tengo una duda… en el 2a) me da que hay un Extremo relativo en (1,2) como a vos, ya que el gradf = (4(x-1)³;2(y-2)) en (1,2) = (0,0) pero luego hago la matriz:
[ f”xx f”xy] = [12(x-1)² 0]
[f”xy f”yy] = [ 0 2]
reemplazando en el (1,2) me queda:
[ 0 0 ]
[ 0 2 ] => el determinante es 0 y f”xx = 0 =>por que decis que es minimo? seguro le pifie a algo porque salta a la vista que es minimo, pero quiero saber en que pifie…
Hola Mariano,
Si el criterio del hessiano no decide tenés que justificar de otra forma el mínimo, como por ejemplo diciendo que la función nunca es negativa por calcularse como suma de potencias pares.
En este caso nunca es menor que 4, y justo vale 4 en el (1,2), luego es el mínimo.
Saludos,
Damián.
Aver si entendi bien… Entonces si el determinante me da 0 lo tengo que justificar de otro modo no?
una consulta, que me quiere decir que sea solenoidal??
Si g solenoidal entonces div(g) = 0
Hola Damián, te hago una consulta cómo sumo los campos f y g en e ejercicio 1b) ya que no hay manera de llegar al -4pi y me falta ese concepto para entenderlo! gracias.
Hola Alan,
para hacer el flujo sobre la tapa.
Lo que querés no es sumar f y g, sino encontrar
Saludos,
Damián.
Damián, sigo sin entender, como quedaría expresada entonces la integral doble de la tapa entonces? Capaz viéndolo logre entender… Gracias
Hola Alan,
.
El flujo sobre la tapa orientada hacia abajo es
Y según wolframalpha da
Saludos,
Damián.