Final 27/05/2009

final_27_05_2009

Solución: (de la parte práctica)

1)

a) Enuncie el teorema de cambio de variables en integrales dobles.  Siendo \iint_{Dxy} x+y \ dxdy = 9 , ante un cambio de variables definido por (x,y) = (u+v, v-u) ¿Cuál será el valor de \iint_{Duv} 8v \ dudv ?

Primero calculamos el jacobiano de la transformación:

J = \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right| = 1 - (-1) = 2

Por lo tanto por un lado sabemos que dxdy = 2 dudv

Por otro lado realizamos el cambio de variable al integrando, nos queda que x+y = u + v + v - u = 2v

Por lo tanto la integral original transformada sería:

\iint\limits_{Duv} 2v \ 2dudv = \iint\limits_{Duv} 4v \ dudv = 9

La integral que nos piden es

\iint\limits_{Duv} 8v \ dudv = 2 \iint\limits_{Duv} 4v \ dudv = 2 \cdot 9 = 18

b) Dado f(x,y) = (x^2y + g(x), x^3), calcule \oint_{C^+} f ds cuando C es la curva frontera de la región plana D definida por 9x^2 + y^2 \leq 9; suponga que f tiene derivadas parciales continuas.

Puesto que no conocemos g(x) y la curva sobre la que queremos integrar es cerrada, lo primero que intentamos es aplicar el teorema de Green.

green(f) = \left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ x^2y + g(x) & x^3 \end{matrix} \right| = 3x^2 - x^2 = 2x^2

Con lo cual no necesitamos conocer g(x), y lo que debemos hacer es integrar 2x^2 sobre la región interior que encierra la curva.

Como esta región es una elipse, nos conviene pasar a una variante de las coordenadas polares:

x = \rho \cos(\phi)

y = 3\rho \sin(\phi)

El jacobiano de esta transformación es:

J = \left| \begin{matrix} \cos(\phi) & -\rho\sin(\phi) \\ 3\sin(\phi) & 3\rho\cos(\phi) \end{matrix} \right| = 3\rho\cos^2(\phi) + 3\rho\sin^2(\phi) = 3\rho

Al transformar el integrando nos queda 2x^2 = 2\rho^2\cos^2(\phi)

Integramos, sin olvidarnos de poner el jacobiano:

2 \cdot 3\int_0^{2\pi} cos^2(\phi) d\phi \int_0^1 \rho^3 d\rho

= 6 \int_0^{2\pi} \cos^2(\phi) d\phi [\frac{\rho^4}{4}]_0^1

= \frac{3}{2} [\frac{\phi}{2} + \frac{\sin(2\phi)}{4}]_0^{2\pi} = \frac{3}{2}\pi

2)

a) Defina solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden n.  Siendo y = y_{p1}(x) e y = y_{p2}(x) dos soluciones particulares de a y'' + by' + cy = f(x), demuestre que y = y_{p1}(x) - y_{p2}(x) es una solución de la correspondiente ecuación diferencial homogénea.

Tenemos que

a[y''_{p1}(x) - y''_{p2}(x)] + b[y'_{p1}(x) - y'_{p2}(x)] + c[y_{p1}(x) - y_{p2}(x)]

= ay''_{p1}(x) + by'_{p1}(x) + cy_{p1}(x) - (ay''_{p2}(x) + by'_{p2}(x) + cy_{p2}(x))

= f(x) - f(x) = 0

b) Dado f(x,y) = (xy, y-2), halle una ecuación cartesiana para la línea de campo de f que pasa por A=(1,3); indique gráficamente la orientación de dicha línea en A (sólo gráfico indicativo, no se pide que grafique la línea).

Lo importante en este ejercicio es darse cuenta que:

y' = \frac{y-2}{xy}

Por lo tanto

\frac{y}{y-2} dy = \frac{1}{x} dx

\frac{y - 2 + 2}{y-2} dy = \frac{1}{x} dx

(\frac{y - 2}{y-2} + \frac{2}{y-2}) dy = \frac{1}{x} dx

(1 + \frac{2}{y-2}) dy = \frac{1}{x} dx

y + 2\ln(y-2) = \ln(x) + c

Nos piden que pase por (1,3), por lo tanto:

3 = c

Y la ecuación cartesiana para la línea de campo nos queda:

y + 2\ln(y-2) = \ln(x) + 3

3) Sea r_0 la recta normal a la superficie de ecuación z = x^2 + y^2 en el punto A=(1,1,z_0), sea B el punto donde r_0 interseca al plano xy.  Dado f(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z), calcule la circulación de f a lo largo de r_0 deade A hasta B.

Sabemos que z_0 = 1^2 + 1^2 = 2 por lo tanto el punto A = (1,1,2)

Primero calculamos la recta normal, para eso nos conviene definir la función:

F(x,y,z) = x^2 + y^2 - z

Por lo tanto la dirección normal vendrá dada por

\nabla F = (2x, 2y, -1)

En el punto A = (1,1,2) nos queda:

\nabla F = (2,2,-1)

y la recta normal es:

r_0(t) = (1,1,2) + t(2,2,-1) = (1+2t, 1+2t, 2-t)

Su derivada es

r'_0(t) = (2,2,-1)

Si queremos saber cuando interseca al plano xy debemos ver que satisfaga z=0 por lo tanto

2-t=0

t=2

B=(5,5,0)

Ya tenemos todos los datos para realizar la integral

\int_0^2 f(r_o(t)) \cdot r'_o(t) dt

\int_0^2 (1+2t+1+2t, 1+2t+2-t, 1+2t+2-t) \cdot (2,2,-1) dt

\int_0^2 (2+4t, 3+t, 3+t) \cdot (2,2,-1) dt

\int_0^2 4+8t + 6+2t - 3 - t dt

\int_0^2 7 + 9t dt = [7t + 9\frac{t^2}{2}]_0^2 = 32

4) Calcule el flujo de f = g + h \in C^1 a través de la frontera \Sigma del cuerpo definido por 2 \leq z \leq 18-x^2-y^2, suponiendo: g solenoidal y h(x,y,z) = (y-z,x-z,2z-x). Indique gráficamente la orientación que adopta para \Sigma

Como no nos dan explícitamente f y además la superficie sobre la que queremos integrar es cerrada, intentamos aplicar el teorema de la divergencia.

div(f) = div(g) + div(h)

= 0 + (0+0+2) = 2

Por lo tanto el flujo pedido simplemente será el doble del volumen del cuerpo que encierra la superficie.

Veamos como se intersecta la superficie del techo con el plano del piso z=2:

18-x^2-y^2 = 2

x^2+y^2 = 16

que es una circunferencia de radio 4.

Nos conviene pasar a coordenadas cilíndricas ya que la superficie es simétrica con respecto al eje z.  No debemos olvidar de poner el jacobiano en la integral, que en este caso es \rho:

\iint\limits_S f dS = 2 \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^4\rho d\rho \int_2^{18-\rho^2} dz

= 4\pi \int_0^4 \rho (18-\rho^2 - 2) d\rho

= 4\pi \int_0^4 16\rho - \rho^3 d\rho

= 4\pi [16 \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4}]_0^4 = 4\pi(128-64) = 256\pi

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5 respuestas a Final 27/05/2009

  1. Nico dijo:

    Hola Damián, disculpá te jodo de vuelta, en este final, el ejercicio 1.b), puede ser que haya algún error en la transformación a polares? Es decir, vos pusiste la transformacion x=\delta*cos(t) y 3\delta*sin(t) , pero creo que esos coeficientes son si ya reemplazamos el \delta por 3. Y para calcular el jacobiano, necesito el \delta en variable todavía.

    A mi los coeficientes me quedaron x=(1/3)\delta*cos(t) y y=\delta*sin(t) . Esto lo digo teniendo en cuenta que CREO que la transformación de una elipse a polares es: x=a*\delta*cos(t) y y=b*\delta*cos(t) , y que en el ejercicio pareciera ser a=1/9 y b=1

    Me expliqué bien?

    • damidami dijo:

      Hola Nicolás,
      Fijate que a veces hay mas de una forma de resolver el ejercicio. Lo importante es encontrar un cambio de variables que simplifique la región de integración. Terminalo de hacer con el método que empezastes y supongo que vas a llegar al mismo valor.
      Saludos,
      Damián.

  2. Hola! tengo una duda en el 1a) te dice que (x,y) = (u+v , v-u)
    => x+y = 2v => 8v = 4(x+y) => el valor es 4 veces la integral doble de (x+y) que es igual a 9 => 9×4 = 36 y a vos te dio 18

  3. hola tengo una duda con el punto 3 tengo todo igual hasta q calcula el punto B,,,, pero no entiendo por q integra desde 0 hasta 2 por q pone esos limites de integracion???

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