Solución: (de la parte práctica)
1) a) Defina solución general (SG) y solución particular (SP) de una ecuación diferencial ordinaria de orden . Sabiendo que
es una SP de
, halle la SP tal que
,
Primero calculamos la solución de la homogénea:
El polinomio característico es:
que tiene soluciones: ,
Como las funciones son L.I. la solución de la homogénea es la combinación lineal:
por lo tanto la solución de la general es
su derivada es:
usando las condiciones iniciales:
de donde sale que y
, por lo tanto la solución particular pedida es:
b) Dado tal que
con
, halle
tal que la integral de línea de
a lo largo de una curva
desde
hasta
no dependa de la curva
que se utilice.
Debe cumplirse la condición necesaria de existencia de función potencial, que es que el jacobiano sea contínuo y simétrico:
Por lo tanto debe cumplirse:
por otro lado como
finalmente, la función pedida es:
2) b) La superficie tiene ecuación
donde
con
, halle la ecuación del plano tangente a
en
sabiendo que
y que
Se trata de una función compuesta de la forma:
Donde:
resulta la función compuesta
En el punto que nos interesa tenemos que:
Por la regla de la cadena sabemos que:
Por lo tanto el plano tangente buscado es:
3) Calcule el área del trozo de plano de ecuación con
Reemplazo en la restricción con la ecuación de la superficie:
De la primer inecuación sale que:
De la segunda inecuación sale que:
Parametrizo el plano de la siguiente manera (basándome en las coordenadas polares)
El vector normal es:
Su norma es:
Por lo tanto el área de la porción de plano pedida es:
El gráfico de la sección del plano es:
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-red",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 1 + 2*u*cos(v), u, 1, 2, v, 0, 2*%pi)
);
4) Dado calcule el flujo de
a través de la superficie abierta
de ecuación
con
, sabiendo que
y que
. Indique gráficamente como ha decidido orientar a
.
De la ecuación de la superficie:
Vemos que se trata de una esfera de radio , de la cual nos interesa sólamente la parte que cumple
, intersectando con el plano
nos queda:
Es decir que la proyección sobre el plano será el interior de la circunferencia unitaria.
Aprovechamos que tenemos la divergencia para calcular el flujo total (mas adelante le restaremos la tapa), usamos coordenadas cilíndricas:
Ese es el flujo sobre la superficie total, veamos cuanto es el flujo sobre la “tapa” que vendría a ser el plano , el cual debemos orientar con el vector normal hacia “abajo” para que resulte saliente:
El vector normal por lo tanto es de la forma:
Hacemos el producto escalar
Por lo tanto el flujo sobre la “tapa” es:
Por lo tanto el flujo sobre la superficie abierta es igual al flujo total () menos el flujo sobre la tapa (
, o sea,
En el siguiente gráfico se puede ver la superficie en color celeste, y la “tapa” en color rojo:
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), sqrt(2-u^2), u, 0, 1, v, 0, 2*%pi),
color = "light-red",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 1, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi)
);
Gracias Damián por estos aportazos que haces. Hoy en la CEIT compré finales para practicar para el final de Análisis Matemático II y este del 14/12/2009 no lo tenian.
De nada ;), me alegro que te haya servido
una pregunta, en el ejercicio 3, como haces cambio a variables polares, no te faltaria el modulo del jacobiano en la integral?
Hola Gisela,
No usé polares. Lee la pregunta frecuente 3.
Saludos,
Damián.
Hola Damian,
Pero entonces en el E3 si parametrizás haciendo S(x,y) = (x,y,1+2x)
Luego encontrás S’x , S’y y N. Finalmente, te queda raíz de 5.
Ahora hacés el cambio a polares para resolver la integral, lo cual sí implica el jacobiano, estaría mal?
Hola Gisele,
Estaría bien, llegarías al mismo resultado.
Saludos,
Damián.
Muchas gracias!