Final 18/08/2009

final_18_8_2009_2

Solución: (de la parte práctica)

1)
a) Enuncie el teorema de la divergencia (Gauss). Sea f \in C^2 (R^3) un campo escalar tal que f = g + h con h armónico y g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2, calcule el flujo de \nabla f a través de la frontera del cuerpo definido por: x^2 + y^2 \leq 4, |z| \leq 3.

Como la superficie es cerrada, vamos a usar el teorema de la divergencia.
Primero obtenemos el campo:
\nabla f = \nabla g + \nabla h
Ahora la divergencia del campo:
div(\nabla f) = div(\nabla g) + div(\nabla h)

Recordemos que h sea armónico significa que div(\nabla h) = 0 (el laplaciano es nulo). Por lo tanto:

div(\nabla f) = div(\nabla g)
= div(2x, 2y, 2z)
= 6

Por lo tanto el flujo total es igual a 6 veces el volumen del cuerpo. Pero el cuerpo es un cilindro de radio 2 y altura 6, usando la fórmula conocida su volumen es \pi r^2 h = 24\pi

Por lo tanto el flujo pedido es 6 \cdot 24 \pi = 144 \pi

b) Dado f(x,y,z) = (x+\sin(yz), \cos(xz)-y, z^3), calcule el flujo de f a través de la superficie S abierta de ecuación z = x^2+y^2 con z \leq 9. Indique gráficamente cómo ha decidido orientar a S.

Si bien la superficie es abierta, integrar directamente ese campo si bien no es imposible es complicado, así que veamos si podemos aplicar convenientemente el teorema de la divergencia.

div(f) = 1 - 1 + 3z^2
= 3z^2

Para ‘abrir’ la superficie abría que quitarle la ‘tapa’, que es el plano z = 9 por lo tanto podemos tomar como vector normal N = (0,0,1) y la proyección del campo sobre la normal es:
f \cdot N = z^3
y como en toda la superficie z=9 entonces
f \cdot N = 9^3 = 729

Si llamamos S_2 a la tapa, tenemos que:
\iiint_{V} div(f) dV = \iint_S f dS + \iint_{S_2} f dS
por lo tanto

\iint_S f dS = \iiint_V div(f) dV - \iint_{S_2} f dS

Resolvemos primero la primer integral:

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^3 \rho d\rho \int_{\rho^2}^9 3z^2 dz
2\pi \int_0^3 \rho [z^3]_{\rho^2}^9
2\pi \int_0^3 \rho(729 - \rho^6) d\rho
2\pi \int_0^3 729\rho - \rho^7 d\rho
2\pi [\frac{729}{2}\rho^2 - \frac{\rho^8}{8}]_0^3
2\pi (\frac{6561}{2} - \frac{6561}{8})
\frac{19683}{4}\pi

Ahora hacemos la segunda integral:
729 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^3 \rho d\rho = 6561 \pi

Al restarlos obtenemos el flujo pedido
\iint_S f dS = \frac{19683}{4}\pi - 6561 \pi
= - \frac{6561}{4} \pi

2)
b) Halle g(x) tal que f(x,y) = (x+yg(x), x^2 + 2g(x)) admita función potencial; suponga f(0,1) = (3,6)

La condición necesaria para que exista función potencial es que \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}, o sea:

2x + 2 g' = g
reordenando términos:
2g' - g = -2x
g' - \frac{g}{2} + x = 0

Vamos a resolverlo por el método de Lagrange.
Si g = uv
g' = u'v + uv'

u'v + uv' - \frac{uv}{2} + x = 0
u[v'-\frac{v}{2}] + u'v + x = 0

v'-\frac{v}{2} = 0
\frac{dv}{dx} = \frac{v}{2}
\frac{dv}{v} = \frac{1}{2}dx
\ln|v| = \frac{x}{2}+c
v = ke^{\frac{x}{2}}
si k=1
v = e^{\frac{x}{2}}

u'e^{\frac{x}{2}} + x = 0
du = -xe^{-\frac{x}{2}} dx
u = -[-2e^{-\frac{x}{2}}(x+2)] + c
u = 2e^{-\frac{x}{2}}(x+2) + c
u = 2xe^{-\frac{x}{2}} + 4e^{-\frac{x}{2}} +c

por lo tanto
g = uv
= 2x + 4 + ce^{\frac{x}{2}}

Ahora averiguamos el valor de c usando las condiciones iniciales
g(0) = 3
4 + c = 3
c = -1

Finalmente,
g(x) = 2x + 4 - e^{\frac{x}{2}}

3) Calcule el área del trozo de superficie cilíndrica de ecuación x^2 + z^2 = 5 con z \geq x^2, y \leq x en el 1º octante.

Primero parametrizo el cilindro de la siguiente manera:
S(u,v) = (\sqrt{5} \cos(u), v, \sqrt{5}\sin(u))
Calculamos la norma del vector normal:
S'_u = (-\sqrt{5}\sin(u), 0, \sqrt{5}\cos(u))
S'_v = (0,1,0)
N = S'_u \times S'_v = (-\sqrt{5}\cos(u), 0, -\sqrt{5}\sin(u))
|N| = \sqrt{5}

Veamos en el plano xz como se intersectan estas curvas
x^2 + z^2 = 5
z = x^2
de la segunda en la primera ecuación:
z + z^2 = 5
o sea
z^2 + z - 5 = 0
Solo nos interesa la raíz positiva que es z_0 = \frac{-1+\sqrt{21}}{2}

Entonces averiguamos el ángulo que se forma:
\sqrt{5}\sin(u) = \frac{-1+\sqrt{21}}{2}
\sin(u) = \frac{-1+\sqrt{21}}{2\sqrt{5}}
u = \arcsin(\frac{-1+\sqrt{21}}{2\sqrt{5}}) \approx 0,92911... = \phi

\sqrt{5} \int_{\phi}^{\frac{\pi}{2}} du \int_0^{\sqrt{5}\cos(u)} dv
= \sqrt{5} \sqrt{5}[\sin(u)]_{\phi}^{\frac{\pi}{2}}
= 5 (1 - \sin(\phi))
= 5 - 5\frac{-1+\sqrt{21}}{2\sqrt{5}}
= 5 - \frac{5}{2}\sqrt{105} + \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 0.99455...

En el siguiente gráfico se puede visualizar el cilindro de color celeste, las restricciones en verde, y la sección del cilindro a integrar en color azul.
final_18_8_2009_ej3
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(sqrt(5)*cos(u), v, sqrt(5)*sin(u), u, 0, %pi/2, v, 0, sqrt(5)*cos(u)),
color = "blue",
reparametrize(sqrt(5)*cos(u), v, sqrt(5)*sin(u), u, 0.92911, %pi/2, v, 0, sqrt(5)*cos(u)),
color = "green",
parametric_surface(x, y, x^2, x, 0, sqrt(2), y, 0, sqrt(3)),
color = "light-green",
parametric_surface(x, x, z, x, 0, sqrt(5), z, 0, sqrt(5))
);

4) Siendo z = f(x,y) definida implícitamente por zx + yz^2 + \ln(z-2y) - 15 = 0, calcule aproximadamente f(1.97, 1.09)

En el punto (x,y) = (2,1):
2z_0 + z_0^2 + \ln(z_0 - 2) - 15 = 0
por lo tanto:
z_0 = 3

Defino F(x,y,z) = zx + yz^2 + \ln(z-2y) - 15
\nabla F = (z, z^2 - 2\frac{1}{z-2y}, x+2yz+ \frac{1}{z-2y})

En el punto A: (2,1,3):
\nabla F = (3,7,9)

por lo tanto:
\nabla f = (-\frac{F'_x}{F'_z}, -\frac{F'_y}{F'_z})
= (-\frac{1}{3}, -\frac{7}{9})

por lo tanto, en el entorno del (2,1):
f(x,y) \approx 3 - \frac{1}{3}(x-2) - \frac{7}{9}(y-1)

finalmente:
f(1,97, 1,09) \approx \frac{147}{50} \approx 2.94

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9 comentarios en “Final 18/08/2009

  1. Damian, el ejercicio 3 de este final, se puede resolver proyectando la superficie en el plano XY, osea sin parametrizarla?
    Desde ya muchas gracias

    • Hola Federico,
      La superficie es proyectable en el plano xy, por lo tanto en teoría es posible, contame si lo hacés si te dió lo mismo.
      Saludos,
      Damián.

  2. Disculpame,

    En el ejericio 3 el modulo de N no seria raiz de 5 en vez de 5? Es el modulo de un vector … sino me quevico a mi me da raiz de 5 … lo cual hace que el ejercicio de diferente …

    Gracias!

  3. Damian,

    Buenisimo entonces! Me quedo mas tranquilo … estaba intentando hacer se ejercicio anoche y no me daba ni parecido a lo que te daba a vos … lo intente hacer sin parametrizar … y no lo pude encarar … despues probe como lo resolviste vos pero me daba distinto.

    Muchas gracias!

  4. Damian, una pregunta.
    En el ej 1b. ¿Porque integraste z de [p^2; 9] ?

    ¿La integral no tendría que ser de 0 a 9 (ya que es un paraboloide elíptico)?

    • Si ves el gráfico, es un paraboloide orientado hacia arriba.
      La superficie abierta es la parabola de ecuación x^2+y^2=z desde el orígen hasta el plano z=9 . La ‘tapa’ es la interesección de z\leqslant 9 y x^2+y^2=z . La ecuación de la tapa, proyectada sobre el plano xy da como resultado x^2+y^2=9 .

      Como proyectamos sobre xy , tenemos los límites el dS , pero todavía está dz que varía siguiendo la superficie de la parábola (x^2+y^2=z )hasta llegar al plano z=9 . Entonces:
      \iiint_{V} div(f)dV = \iint_{S} \int_{x^2+y^2}^{9} div(f)dzdS
      En este caso, S es el área de la la proyección sobre el plano xy . Como la proyección es un círculo, para trabajar con límites de integración más comodos, cambiamos de coordenadas.
      \left\{\begin{matrix} x=p.cos \theta \\ y=p.sen \theta \\ z=z \end{matrix}\right.
      Además, como x^2+y^2=9 y x^2+y^2=p^2 \Rightarrow p^2=9 \Rightarrow 0 \leqslant p \leqslant 3
      Por último como no hay restricción de octante, \theta \in [0,2\pi ]

      Espero que haya servido para alcarar, aunque me parece que no quedó tan clara la explicación.

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