Archivos de la categoría ‘Ejercicios de Final con respuesta

Final 13/12/2016

Viernes, diciembre 16th, 2016

Respuestas:

T1) f(0,0) = 4 es mínimo absoluto y relativo.
T2) \nabla h(1,2) = (10,3)

E1) El flujo es 81 orientando hacia z^+
E2) El volumen pedido es V = \frac{64}{3}
E3) La línea de campo es -\frac{x^2}{2} + y^2 = 7
E4) La circulación es \frac{81}{4} \pi

Final 26/07/2016

Martes, julio 26th, 2016

final_26_07_2016

Respuestas:

T1) Vol(D) = 9 \pi
T2) Hay plano tangente horizontal en (-1,0,z_0)
E1) V = \frac{16}{3}
E2) En (1,0) se produce mínimo relativo f(1,0)
En (-1,0) se produce punto silla (-1,0,f(-1,0))
E3) 60
E4) 4\pi

Final 29/02/2016

Martes, marzo 1st, 2016

final_29_02_2016

Respuestas:

T1) 12 orientado hacia z^+
E1) Reemplazando z en la fórmula de la función te quedan tres puntos críticos (0,0), (-1,-1/2), (4,-8)
El primero por el hessiano da minimo relativo f(0,0,2). Los otros dos dan puntos silla.
E2) Sale fácil por rotor: 8\pi
E3) \int_{\pi/4}^{5\pi/4} d\phi \int_0^1 \rho d\rho \int_{\rho}^{\sqrt{3-2\rho^2}} dz = \frac{(\sqrt{3}-1) \pi}{2}
E4) y = 2x - e^{-4x}

Final 01/10/2015

Viernes, octubre 2nd, 2015

final_01_10_2015

Gracias Adan Quisbert por enviarme el enunciado

Respuestas:

T1) p'y(1,2) = 139
T2) y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + 2x^2
E1) Vol(H) = 24\pi
E2) El flujo “hacia arriba” es 8/3
E3) f(1.98, 3.02) \approx 3.99
E4) \int_\Gamma f dc = 16\pi

Final 02/03/2015

Martes, marzo 3rd, 2015

final_02_03_2015

Gracias Nicolás Mehring por enviarme el enunciado.

Respuestas:

T1) Se verifica la ecuación.
T2) La SP es y=2
E1) El flujo saliente es 8
E2) La circulación es \frac{-16}{3}
E3) El área es 4 \sqrt{6}
E4) El volumen es \frac{10}{3}\pi

Final 01/10/2014

Miércoles, octubre 1st, 2014

final_01_10_2014

T1) f(0,0) = 4 es mínimo local (y global)
T2) div(rot(f)) = 0 (justificar usando Schwarz)

E1) El flujo da 22 (orientando hacia arriba).
E2) La circulación da \frac{22}{15}.
E3) f(2.02, 1.98) \approx 3.016.
E4) La circulación da 24.

Agrego gráfico del ejercicio E1. En azul está la superficie, en verde el plano, y en rojo la proyección sobre el plano xy.

final_01_10_2014_ej1

Final 29/07/2014

Martes, julio 29th, 2014

final_29_07_2014

Respuestas:

T1) La derivada máxima de h en (2,2) es 13 \sqrt{5}

T2) La ecuación diferencial es y^3 + xy^2 y' + y' = 0

La solución particular es xy^2 - y = 1

E1) El volúmen es \frac{128}{3}\pi

E2) La circulación es \frac{13}{3}

E3) El área es \frac{ \sqrt{11} }{3} \pi

E4) El flujo pedido es 8 \pi orientando hacia z^+.

Final 15/07/2014

Martes, julio 15th, 2014

final_15_07_2014

T1)

\nabla f(x,y) = (2x,8y)
\nabla f(0,0) = (0,0)
Hf(0,0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}
f(0,0) es mínimo local.

T2) \int_0^2 dx \int_0^{\sqrt{1 - (x-1)^2}} x^2 + y^2 dy = \boxed{ \frac{3}{4} \pi }
(no se pedía calcular, sólamente expresar)

E1) Un vector tangente a la recta es n = (1,6,-2). Podemos parametrizar la recta con
g(t) = (1+t, 2+6t, 2-2t) con 0 \leq t \leq 1

Luego la circulación es \int_C f dc = \int_0^1 (2+2t, 6+18t, 4-4t) \cdot (1,6,-2) dt = \boxed{ 89 }.

También se podía resolver usando función potencial.

E2) Proyecto sobre xy y uso polares. Queda la integral

A = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2-\rho^2}} \rho d\rho = \boxed{ (4-2\sqrt{2}) \pi }

E3) Queda
y_h = C_1 + C_2 e^x
y_p = -x^2 - 2x
y = C_1 + C_2 e^x - x^2 - 2x
Usando y(0) = 1 y que y'(0) = -2 resulta la SP buscada
\boxed{ y = -x^2 - 2x + 1 }

E4) Proyecto sobre xy orientando hacia z positivo, queda la integral (con abuso de notación)

\int_0^2 dx \int_0^x (2xy, 2yz, 4yz) \cdot (2x,0,1) dy

Cambiando por el z de la superficie

\int_0^2 dx \int_0^x 4x^2 y + 4y (4-x^2) dy = \boxed{ \frac{64}{3} }

Final 26/05/2014

Martes, mayo 27th, 2014

final_27_05_2014x

Respuestas:

T1) La circulación en orientación antihoraria es 36.

T2) El vector normal es N = (2,1,-5) y la ecuación de la recta X = T_0 + \lambda N

E1) La masa es 3k\pi

E2) \nabla f(2,1) = (5, \frac{-19}{3}), el plano es 15x - 19y - 3z = 2, la intersección con el eje x es (\frac{2}{15}, 0, 0)

E3) g(x) = 2x

E4) El flujo saliente es 2 \int_{-1}^1 dx \int_{x^2}^1 dy \int_0^{1-y^2} dz = \frac{32}{21}

Dejo el dibujito del cuerpo

final_26_05_14_e4
RegionPlot3D[
z = x^2 && z >= 0, {x, -1, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0,
1}, PlotPoints -> 50, PlotStyle -> Directive[Cyan, Opacity[0.5]],
Mesh -> None, Boxed -> False, AxesLabel -> {x, y, z},
AspectRatio -> Automatic]

Final 17/12/2013

Miércoles, diciembre 18th, 2013

final_17_12_2013

T1) La ecuación diferencial corregida es y'' + ky' = 4 + 8x
Se obtiene k = 2, y la solución general es y = C_1 + C_2 e^{-2x} + 2x^2

E1) La longitud es \frac{5}{2} \pi

E2) z_0 = 2
El área pedida es \frac{49}{6} \sqrt{41}

E3) El flujo pedido es \frac{1296}{5}

E4) La masa es 12 k \pi