Final 19/07/2011

Pongo los resultados:

T1)
Un vector normal a la superficie en el punto A es N = (-3,3,3)
La ecuación cartesiana del plano tangente es -x+y+z=2

E1)
El gradiente de f:
\nabla f(3,6) = (3,4)

El jacobiano de la compuesta:
Dh(1,3) = Df(3,6) Dg(1,3)
= \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 11 \end{pmatrix}

Parametrización de la recta normal:
n(t) = (1,3,7) + t(9,11,-1)
= (1+9t, 3+11t, 7-t)

Intersecta al plano xz en el punto \left( -\frac{16}{11}, 0, \frac{80}{11} \right)

E2)
\Phi(x,y) = xy^2 - x^2 + 2y^2 + 4
\int_{(1,2)}^{(3,5)} f dc = \Phi(3,5) - \Phi(1,2) = 120 - 15 = 105

E3)
div(f) = 1
F_{total} = \left( \frac{4}{3}\pi 2^3 \right) \frac{1}{2} = \frac{16}{3}\pi

F_{tapa} = -2(\pi 2^2) = -8\pi

F_{pedido} = F_{total} - F_{tapa} = (\frac{16}{3} + 8)\pi = \frac{40}{3}\pi

E4)
La recta normal queda y = \frac{3-x}{2}

Haciendo:
\displaystyle \iint_D x dxdy = \int_{\frac{-3}{2}}^1 x dx \int_{x^2}^{\frac{3-x}{2}} dy = \ldots = \frac{-125}{192}

La integral queda:
\displaystyle \iint_D 2x + 5f(x,y) dxdy = 2 \underbrace{\iint_D x dxdy}_{\frac{-125}{192}} + 5 \underbrace{\iint_D f(x,y)dxdy}_{8} = \frac{3715}{96}

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23 comentarios en “Final 19/07/2011

  1. Damian: Como obtengo la recta normal en el punto E4??. El resto del ejercicio me sale pero me trabe en esa parte. Desde ya muchas gracias por tu tiempo.

    • Hola Matias,
      Hay muchas formas, por ejemplo si “pasás a imlícita” la ecuación, es decir considerás la función
      F(x,y) = x^2 - y
      su gradiente es normal a la curva de nivel en cada punto
      \nabla F(x,y) = (2x, -1)
      en particular
      \nabla F(1,1) = (2,-1)
      Ya tenes un punto A=(1,1) y un vector tangente a la recta (que es el normal a la curva) N=(2,-1)
      con eso deberías poder construir la ecuación vectorial de la recta, la paramétrica, y de ahí pasarla a ecuación cartesiana.
      (hay otras formas de llegar a la ecuación sin pasar por la paramétrica, pero esta me parece mas fácil)
      Suerte.

  2. Hola, En E3 no es un superficie compacta,conexa sin borde (esfera de radio=2) y la divergencia de F= 3,
    donde es mas facil usar el teorema de divergencia?

    • Hola Alex,
      No entiendo del todo tu pregunta. La superficie del E3 si tiene borde, pues no es cerrada al no ser toda la esfera (es solo la parte de arriba), y la divergencia no da 3 sino que da 1.
      Conviene divergencia a pesar que hay que restar la tapa porque en el campo aparece una funcion g desconocida que complica la integral para hacerla directamente.
      Saludos.

    • Alex, es difícil entender que estás diciendo. Lo de “z+ por la raíz” entiendo que te referís a que va la parte de arriba de la superficie porque hay una raíz cuadrada. Lo de “y la divergencia le sumaba 2 sin derivar” no tengo idea que es, pero la divergencia da 1 y no se suma sinó que se integra.

  3. Hola, una pregunta.
    No entiendo en el punto 3, porque dividen la superficie. El enunciado no se refiere a la tapa superior solamente sino a toda la esfera. No sería directamente Flujo = Int triple de la div?
    Como me doy cuenta que no se refiere a toda la esfera?
    Si hago el volumen de la esfera, me da 32/3 pi.
    Qe estoy haciendo mal?
    Muchas gracias!!

  4. Hola. En el EJ 3, cuando calculas el flujo en la tapa, porque multiplicas por -2. No deberia ser por -1? Dado que la divergencia es igual a 1 y tome como sentido del gradiente de la funcion que contiene a la tapa , en el de las z negativas.

    • Hola Eduardo,
      No va la divergencia, es calculo de flujo directo, va el producto escalar del flujo por la normal. Sobre el plano z=0 al hacer dicho producto escalar da -2 (tomando como decís orientación hacia z negativas)
      Saludos,
      Damián.

  5. damian, en el ejercicio E3) cuando saco el flujo de la tapa no entiendo por que lo multiplicas por -2, y hago el producto escalar de f con el normal usando las z negativas y me da -2-z, no se en que me estoy equivocando, muchas gracias
    javier

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