Tp.11 Ej.13.a

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de 1º orden.

a) \begin{cases} x' + y' = e^{-t} + y \\ 2x' + y' = \sin(t) - 2y \end{cases}

con x(0) = -2, y(0) = 1.

Solución:

x' + y' = e^{-t} + y
2x' + y' = \sin(t) - 2y

restando la primera a la segunda
x' = \sin(t) - 3y - e^{-t}
reemplazando en la primera
\sin(t) - 3y - e^{-t} + y' = e^{-t} + y
y' - 4y = 2e^{-t} - \sin(t)

Resuelvo la EDO lineal de 1º orden con la sustitución
y = uv
y' = u'v + uv'

u'v + uv' - 4uv = 2e^{-t} - \sin(t)
u(v'-4v) + u'v = 2e^{-t} - \sin(t)

Primera parte
v' - 4v = 0
v' = 4v
\frac{dv}{v} = 4dt
\ln|v| = 4t (busco sólo una SP)
v = e^{4t}

Segunda parte
u' e^{4t} = 2e^{-t} - \sin(t)
u' = 2e^{-5t} - \sin(t) e^{-4t}
du = 2e^{-5t} - \sin(t) e^{-4t} dt

u = \frac{-2}{5} e^{-5t} - \left[ \frac{-1}{17} e^{-4t}( 4\sin(t) + \cos(t) ) \right] + c

u = \frac{-2}{5} e^{-5t} + \frac{1}{17} e^{-4t}( 4\sin(t) + \cos(t) ) + C

y = uv = [ \frac{-2}{5} e^{-5t} + \frac{1}{17} e^{-4t}( 4\sin(t) + \cos(t) ) + C ] e^{4t}

Finalmente, obtenemos el componente y :
y = \frac{-2}{5} e^{-t} + \frac{1}{17}( 4\sin(t) + \cos(t) ) + Ce^{4t}

usando la condición
y(0) = 1
\frac{-2}{5} + \frac{1}{17} + C = 1
C = \frac{114}{85}

y = \frac{-2}{5} e^{-t} + \frac{1}{17}( 4\sin(t) + \cos(t) ) + \frac{114}{85} e^{4t}

Retomando la otra ecuación
x' = \sin(t) - 3y - e^{-t}

x' = \sin(t) -3 ( \frac{-2}{5} e^{-t} + \frac{1}{17}( 4\sin(t) + \cos(t) ) + \frac{114}{85} e^{4t} ) - e^{-t}

= \sin(t) + \frac{6}{5} e^{-t} - \frac{3}{17}( 4\sin(x) + \cos(x) ) - \frac{342}{85} e^{4t} - e^{-t}

= \frac{5}{17} \sin(t) + \frac{1}{5} e^{-t} - \frac{3}{17} \cos(x) - \frac{342}{85} e^{4t}

Entonces,
x = \frac{-5}{17} \cos(t) - \frac{1}{5} e^{-t} - \frac{3}{17} \sin(x) - \frac{171}{170} e^{4t} + C

Usando la condición inicial:
x(0) = -2
\frac{-5}{17} - \frac{1}{5} - \frac{171}{170} + C = -2
C = \frac{-1}{2}

Finalmente la solución buscada es
\begin{cases}   x = \frac{-5}{17} \cos(t) - \frac{1}{5} e^{-t} - \frac{3}{17} \sin(x) - \frac{171}{170} e^{4t} - \frac{1}{2} \\  y = \frac{-2}{5} e^{-t} + \frac{1}{17}( 4\sin(t) + \cos(t) ) + \frac{114}{85} e^{4t}  \end{cases}

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