Tp.10 Ej.6

Publicado el julio 23, 2011 por damidami

Sea \overline{f} = (P,Q) \in C^1 en \mathbb{R}^2 - \{0\} tal que Q'_x - P'_y = 5, dadas las curvas C_1 : x^2 + 9y^2 = 36 y C_2 : x^2 + y^2 = 4, calcule \oint_{C_2^+} \overline{f} \cdot \overline{ds} sabiendo que \oint_{C_1^+} \overline{f} \cdot \overline{ds} = 7\pi

Solución:

C_1 : x^2 + 9y^2 = 36
C_2 : x^2 + y^2 = 4

La curva C_1 es una elipse centrada en el origen de semiradios 6 y 2. El area que encierra es A(int(C_1)) = 2\cdot 6 \cdot \pi = 12\pi.

Sabemos que si f fuera C^1 en todo el interior de C_1 (incluyendo el origen) entones por el teorema de Green tendríamos \int_{C_1^+} f ds = 5 \cdot 12\pi = 60\pi, cuando en realidad la circulación es 7\pi = 60\pi - 53\pi. Es decir que podemos pensar que la circulación en el sentido positivo sobre una curva cerrada “infinitesimal” que encierra al origen es de -53\pi

La curva C_2 es una circunferencia centrada en el origen de radio 2. El area que encierra es A(int(C_2)) = 4\pi. Como en la curva anterior, si fuera que f \in C^1 en todo el interior tendríamos que \int_{C_2^+} f ds = 5 \cdot 4\pi = 20\pi. Pero como hay que sumarle la circulación que ya conocemos sobre una curva cerrada “infinitesimal” que encierra el origen, la circulación pedida es \int_{C_2^+} f ds = 20\pi - 53\pi = -33\pi

Debe haber una manera mejor de explicar esto, si a alguien se le ocurre como me avisa. 🙂

Esta entrada fue publicada en TP10 - Teoremas Integrales (Green, Stokes, Gauss). Guarda el enlace permanente.

3 respuestas a Tp.10 Ej.6

  1. Ricardo dijo:
    julio 24, 2011 en 1:27 am

    Se entiende perfecto

    Responder
  2. Castaño Martín dijo:
    marzo 5, 2014 en 10:46 pm

    Damian no entiendo el planteo de que la curva infinitesimal que envuelve al origen es -53pi,lo que entiendo es que la circulación sobre la elipse es 7pi y sobre la circunferencia es -33pi. Por que lo calcula de esa manera en vez de hacerlo por diferencia.

    Responder
    • dami dijo:
      marzo 5, 2014 en 11:35 pm

      Hola Martín,
      Es cierto, por Green para región múltiplemente conexa se tiene
      \iint_D Q'_x - P'_y dxdy = \int_{C_1^+} f dc - \int_{C_2^+} f dc
      O sea que
      \int_{C_2^+} f dc = 7\pi - \underbrace{5 Area(D)}_{5 (\pi 6 \cdot 2 - 4\pi)}
      = 7\pi - 5 \cdot 8 \pi = -33\pi
      Este post lo escribí hace más de 2 años, en el medio cambié la forma de pensarlo, creo que ahora está mejor justificado.
      Saludos,
      Damián.

      Responder

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Gravatar
Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. ( Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. ( Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. ( Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. ( Cerrar sesión /  Cambiar )

Cancelar

Conectando a %s