Tp.10 Ej.6

Sea \overline{f} = (P,Q) \in C^1 en \mathbb{R}^2 - \{0\} tal que Q'_x - P'_y = 5, dadas las curvas C_1 : x^2 + 9y^2 = 36 y C_2 : x^2 + y^2 = 4, calcule \oint_{C_2^+} \overline{f} \cdot \overline{ds} sabiendo que \oint_{C_1^+} \overline{f} \cdot \overline{ds} = 7\pi

Solución:

C_1 : x^2 + 9y^2 = 36
C_2 : x^2 + y^2 = 4

La curva C_1 es una elipse centrada en el origen de semiradios 6 y 2. El area que encierra es A(int(C_1)) = 2\cdot 6 \cdot \pi = 12\pi.

Sabemos que si f fuera C^1 en todo el interior de C_1 (incluyendo el origen) entones por el teorema de Green tendríamos \int_{C_1^+} f ds = 5 \cdot 12\pi = 60\pi, cuando en realidad la circulación es 7\pi = 60\pi - 53\pi. Es decir que podemos pensar que la circulación en el sentido positivo sobre una curva cerrada “infinitesimal” que encierra al origen es de -53\pi

La curva C_2 es una circunferencia centrada en el origen de radio 2. El area que encierra es A(int(C_2)) = 4\pi. Como en la curva anterior, si fuera que f \in C^1 en todo el interior tendríamos que \int_{C_2^+} f ds = 5 \cdot 4\pi = 20\pi. Pero como hay que sumarle la circulación que ya conocemos sobre una curva cerrada “infinitesimal” que encierra el origen, la circulación pedida es \int_{C_2^+} f ds = 20\pi - 53\pi = -33\pi

Debe haber una manera mejor de explicar esto, si a alguien se le ocurre como me avisa. 🙂

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3 comentarios en “Tp.10 Ej.6

  1. Damian no entiendo el planteo de que la curva infinitesimal que envuelve al origen es -53pi,lo que entiendo es que la circulación sobre la elipse es 7pi y sobre la circunferencia es -33pi. Por que lo calcula de esa manera en vez de hacerlo por diferencia.

    • Hola Martín,
      Es cierto, por Green para región múltiplemente conexa se tiene
      \iint_D Q'_x - P'_y dxdy = \int_{C_1^+} f dc - \int_{C_2^+} f dc
      O sea que
      \int_{C_2^+} f dc = 7\pi - \underbrace{5 Area(D)}_{5 (\pi 6 \cdot 2 - 4\pi)}
      = 7\pi - 5 \cdot 8 \pi = -33\pi
      Este post lo escribí hace más de 2 años, en el medio cambié la forma de pensarlo, creo que ahora está mejor justificado.
      Saludos,
      Damián.

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