Final 20/12/2010

Pongo los resultados:

1) a) f'((2,2), r) = \frac{7}{3 \sqrt{10}}

b) z=2
f(0.98, 0.03) \approx 1.91

2) a) Area(D_{xy}) = 20
b) rot(g) = (2y, -y, z)
\int_{\vec{AB}} \vec{f} \cdot \vec{dc} = 4

3) Se podía hacer en forma directa o por divergencia sacando la tapa.
\iint_{\Sigma} \vec{f} \cdot \vec{ds} = \frac{-\sqrt{2} \pi}{4}

4) \oint_{C^+} \vec{f} \cdot \vec{dc} = \frac{-128}{15}

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40 comentarios en “Final 20/12/2010

  1. Hola Damián que tal, en el 2.a te dió 20 porque el jacobiano de la transformada da 5 y al multiplicarlo por 4 que es el area normal, entonces da 20, no? o el procedimiento fué otro? Gracias

    • Hola Nicolás,
      El procedimiento es tan sencillo como lo mencionás, pero habría que justificarlo escribiendo las integrales correspondientes.
      Lo que sí, 4 es el área sobre el plano uv (no es el área “normal”). Es un ejercicio teórico, lo importante está en enunciar bien el teorema de cambio de variables y mostrar su uso con ese ejemplo.
      Suerte!

  2. Hola Damián, respecto al punto 3) no me queda claro como quedan los limites de integracion. Lo que intento hacer es proyectar sobre el plano xy. Si podés explicarlo un poco te lo agradezco. Saludos

    • Hola Nico,
      Estoy medio complicado de tiempo para hacerlo todo, pero te tiene que quedar una elipse sobre el plano xy. Si querés copiá acá los límites como los tenés y te digo si me parece que están bien.
      Suerte!

    • nico, la elipse seria la interseccion de :
      z=2 y z=1+x^2+2 . y^2

      –> x^2+2 . y^2= 1
      dividis por 2: x^2 / 2 + y^2 = 1/2

      y parametrizada queda:

      x= sqrt(2) . ro . cos (t)
      y= ro . sen (t)

      donde el Jacobiano es = sqrt(2) . ro

      entonces… los limites serían

      0 < t < 2pi

      0 < ro < 1/sqrt(2)

  3. Hola, alguien podría ayudarme con el ejercicio 1.a. para calcular la derivada direccinal cuando el versor r esta orientado desde (2,2) a (3,5)?

    Muchas gracias!

    • Lily, nose si es tarde la respuesta pero la resolución del 1a es la siguiente:

      grad f = (1/3 , 2/3)

      Por ser diferenciable decimos que: f’ ((2,2), r) = grad f x u siendo u versor

      Para calcular el u versor, primero calculamos el u vector = (1,3) , lo dividimos por la norma y te da que el versor u = (1,3)/raiz 10.

      quedandote f'((2,2) , r) = (1/3 , 2/3 ) x (1,3)/raiz10 = 7/(3raiz10)

      Espero haber sido de ayuda la respuesta

  4. Alguien resolvió el 2b? A mi el rot g = (2y, y , -z) y después de eso como lo sigo? Trate de comprobar si admite función potencial pero no. Desde ya gracias por su ayuda.

    • Mati te queda rot=(2y;-y ; h’ – (-z-(h’.-1) ) )
      Operas con los signos y te queda z xq se cancelan las h’. Pero tampoco se como seguir

    • El 2b)
      el rotor me queda como Matias, luego tenes q averiguar la curva q pasa por esos 2 ptos dados: sacas el vector director entre A y B, osea te queda (1,0,-2) y luego la recta queda (x,y,z)=(1,3,1) + t(1,0,-2) …ya teniendo eso se parametriza la curva q luego se usa en la circulacion, osea queda g(t)=(1+t,3,2-2t), se saca la g'(t) y luego f[g(t)].g'(t)

      El 1 a : como se llega a grad f = (1/3 , 2/3) ? ¿porque no es grad f = (1 , 2) ?

    • Andrea, en el 1a se llega a grad f = (1/3 , 2/3), te dan la orientación del versor, el mismo va de (2,2) a (3,5) ahi hay que restar (3-2 , 5-2) = (1,3) dandote el vector lo divides por su norma y te da el versor.

  5. \TEXT {1A)}
    Si vos miras la ecuacion que te dan y de ahi queres sacar el gradiente de una sin cuentas ni nada se puede pero ojo una cosa es la normal y ora cosa es el gradiente, si la formula no esta bien acomodada no son lo mismo
    x+2y-3z=1 aca la normal ves que es (1,2,3) pero yo necesito
    trabajar con el gradiente en el punto dado por eso despejo
    z= \dfrac {-1}{3}+\dfrac {x}{3}+\dfrac {2y}{3} donde lo que estoy viendo tambien equivale al resultado de hacer todas cuentitas despues de plantear
    z=zo+Z'x(x-2)+Z'y(y-2) que de hecho si planteas esto vas a ver que queda lo mismo que dicen los muchachos mas arriba y ahi si estoy viendo el gradiente que esta asociado al punto de trabajo zo si no te sirvio esta respuesta preguntame de vuelta,

    saludos

  6. El ejer 4, te queda (y-x^2)(y-2x^2 +4)=0 entonces y-x^2 = 0 o y-2x^2 +4 =0 . Por lo tanto dibujas esas 2 parabolas en el plano y sacas la interesaccion. El area se calcula con Green !

  7. Hola Andre! En el 2.b. como determinas los limites de integración? A mi me quedo g(t) = (1+t,3,2-2t) pero no se como determinar en este caso los límites de integración (el a y el b).

    Muchas gracias!!!

  8. Muchisimas gracias Ezer!!! Recien ahora me esta cerrando todos los ejercicios, me podras ayudar con el 3 y el 4?

    3) yo resolvi la integral doble de 0 a 2pi y de 0 a 1/sqrt2 de lo siguiente (1+2r^2)sqrt2r dr dtita, pero me termina dando (3 sqrt2 pi)/4

    y en punto 4) me quedo integral doble de -2 a 2 y la otra integral 2x^2-4 a x^2 de lo siguiente y dy dx

    Muchisimas gracias!!! Asi me saco todas las dudas!!!!

    • \text {3}
      respecto de esete ejercicio vi que cada uno lo fue parametrizando de distitnta manera, yo descubri que para mi aunque en teoria parece mas largo es mas corto parametrizar asi (aparte medio que ya lo mecanice y asi elimino errores no?)
      \Phi = \iint\limits_D f.n \,\,ds
      \text {teniendo ~en~ cuenta~ que} z=1+x^2+2y^2
      \Phi = \iint\limits_D (x^2+2y^2-1) \,dx\,dy
      \text {cambio de variables para la elipse}
      x=u  \quad y=\dfrac {1} {sqrt{2}}v \quad \left\vert j \right\vert= 2.1
      \Phi = \iint\limits_R (u^2+v^2-1)\,du \,dv
      \Phi = \dfrac {1} {sqrt{2}} \int_{0}^{2\Pi}\int_{0}^{1} (\rho^2 \cos^2\theta + \rho^2 \sin^\theta-1) \,d\rho\,d\theta
      \text {operando queda algo asi}
      \Phi = \dfrac {1} {sqrt{2}} \int_{0}^{2\Pi} (\dfrac {\rho^2}  {4} - \dfrac {rho^2} {2})\binom{1}{0}
      \Phi = - \dfrac {\pi} {2sqrt{2}}=-\dfrac{sqrt{2}\pi} {2.2}=  \dfrac {-sqrt{2} \pi} {4}
      que es lo que puso Dami

      \text {4}
      el cuatro me queda igual, no te da como a Dami? a mi al principio
      tampoco y lo hice parametrizando y me dio igual, luego revise mi
      ejercicio y estaba mal una cuenta. la integral es como decis.
      C=\int_{-2}^{2} \int_{2x^2-4}^{x^2} y\,dy\,dx
      C=\int_{-2}^{2} \dfrac {(x^4-(2x^2-4)^2)} {2}\,dx
      como es simetrico respecto eje y cambio limites de integracion y multiplico por 2
      C= dfrac{2}{2} C=\int_{0}^{2} [x^4-(4x^4-16x^2+16)] \,dx
      C= - \dfrac{3x^5}{5}+\dfrac {16x^3}{3}-16x \binom 2} {0}
      C= - \dfrac {96}{5}+ \dfrac {128} {3} - 32 = \dfrac {-128}{15}

      Saludos

  9. Chicos perdonen que escriba aca, aparte de la ultima consulta queria consultarles sobre el final del 28/02, pero ahi no puedo poner desde antes de ayer comentarios:

    Podrían ayudarme con el punto 1.b y el 4 del final del 28/02

    1.b.: Como se saca el h’x y el h’y??
    Yo hice h’x = Z’u . u’x + Z’v . v’x y me da -16/3 no me da -10/3 como les da a todos según los comentarios que hacen en el blog.

    4. A mi me quedo integral doble la primera de 0 a 2pi y la segunda de 0 a 3 de (9-r cos tita) r dr d tita pero cuando la resulvo me queda 81/2sqrt 2, no se si estoy haciendo bien o es un error de calculo pero lo probe muchisimas veces, pero sigue sin darme.

    Millones de gracias a Todos!

  10. En el punto 4, me queda todo exactamente igual pero lo resuelvo con “x” variando entre -2 y 2, lo cual no me da el mismo resultado.
    No debería dar igual que cambiando los límites de integración por ser simétrico con respecto al eje y?

    Slds

    • A mi me pasa lo mismo, si bien llego a que el jacobiano da 5 y por otro lado tengo por dato que ese area de la transformada da 4, no se como llegar a este famoso “5*4” para que me de 20 como dice la mayoria… 😦 Por favor si pueden dar una mano se los agradezco!

  11. Buenas, estuve leyendo los comentarios y el 2.B lo tengo igual planteado que como dijeron arriba pero me está dando 12, no 4. Revisé las cuentas y mi procedimiento pero no encuentro el error. Hice esto:

    Averigué f

    f(x,y,z) = rot(g) = (2y,-y,z)

    Luego averigué la ecuación de la recta

    r(t) =(1,3,2) + t * (1,0,-2)

    Plantié la curva y su derivada para aplicar la definición de circulación

    C(t) = (1+t,3,2-2t)
    C'(t) = (1,0,-2)

    Aplico la definición de circulación
    \int_2^3 (6,-3,2-2t) * (1,0,-2) dt
    \int_2^3 2+4t dt = 12

    Saludos y gracias de antemano.

    PD: es la primera vez que uso Latex capaz alguna expresión se ve mal.

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