Final 02/08/2011

Miércoles, agosto 3rd, 2011

Pongo los resultados:

T1) La integral quedaba \int_{0}^4 x dx \int_{-x}^x dy = \frac{128}{3}

T2) Quedaba
Dh = Df Dg
= \begin{pmatrix} 8 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & 13 \end{pmatrix}
o sea que
\nabla h(1,2) = (21,13)
y la mínima derivada direccional es
-||\nabla h(1,2)|| = -\sqrt{610}

E1) La SP de la EDO quedaba y = x^2 - 2x + 1, los puntos A=(0,1) y B=(2,1), la función potencial \phi(x,y) = x^2 + 2y^2 + c, y la circulación:
\phi(B) - \phi(A) = 6 - 2 = 4.

E2) El flujo (salía directo, no convenía diverencia porque la superficie es cerrada y es más difícil andar sacando la tapa) daba \frac{72}{5}
Agrego parte de la resolución:
Parametrizando la superficie como
g(x,y) = (x,y,x^2+y)
calculamos el vector normal
g'_x = (1,0,2x)
g'_y = (0,1,1)
g'_x \wedge g'_y = (-2x, -1, 1)
f(g(x,y)) = (2x, 2y, 4x^2 + 4y)
f \cdot (g'_x \wedge g'_y) = -4x^2 - 2y + 4x^2 + 4y = 2y
la integral queda entonces
2 \int_{-2}^1 dx \int_{x^2}^{2-x} y dy = \frac{72}{5}
(verifica con el wolfram alpha)

E3) Salía con coordenadas cilíndricas (con esféricas es más difícil de lo que parece porque el radio no queda constante, a lo mejor con alguna variante estilo coordenadas “elipsoidales” también sale fácil). La integral quedaba
\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^2 \rho d\rho \int_{\rho}^{\sqrt{6-\frac{\rho^2}{2}}} dz
El resultado es (8\sqrt{6} - 16) \pi \approx 11,2969\ldots
(verifica con el wolfram alpha)

En la siguiente imagen se ve la parte del elipsoide en rojo (el “techo”), la parte del cono en azul (el “piso”), y grafiqué también una parte de como seguiría el elipsoide en verde.


draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="blue",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),u, u,0,2, v,0,2*%pi),
color="red",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v), sqrt(6-u^2/2), u,0,2, v,0,2*%pi),
color="green",
parametric_surface(sqrt(12)*cos(v)*sin(w), sqrt(12)*sin(v)*sin(w), sqrt(6)*cos(w), v,0,2*%pi*0.75, w,0,%pi/2)
);

E4) La curva queda parametrizada como g(t) = (2t, t^2, 2t^3), el plano queda x+y+3z=9 y el área pedida \frac{27}{2}\sqrt{11}

Agrego parte de la resolución:
Voy a usar el método de integrar superficies usando una función definida en forma implícita (y proyectando en el plano xy), aunque también se puede hacer parametrizando.
Defino G(x,y,z) = x+y+3z-9 entonces
\nabla G = (1,1,3), y G'_z = 3
el normal buscado (con la norma del diferencial de área) es
N = \frac{ \nabla G}{G'_z} = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1 \right)
y su norma es
|| N || = \frac{\sqrt{11}}{3}
entonces la integral queda
\frac{\sqrt{11}}{3} \int_0^9 dx \int_0^{9-x} dy = \frac{27}{2}\sqrt{11}

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48 comentarios el “Final 02/08/2011

  1. Javi dice:

    Hola yo rendi ayer y el Flujo me dio 8/5 y lo tenia bien el ejercicio.

    • dami dice:

      Hola Javi,
      Cuando plantean bien la integral aunque no lleguen al resultado correcto se considera bien el ejercicio, ahí agregué parte de la resolución. (falta solo la parte de deducir que -2 \leq x \leq 1)
      Te dió justo 9 veces menos de lo esperado, suena a error de cuentas.
      Saludos,
      Damián.

  2. Mariel dice:

    me fue mal por poquitisimo!! espero sacarlo en septiembre! igual me parecio mas facil el de la fecha enterior!

    • dami dice:

      Hola Mariel,
      Me da pena que te haya ido mal 😦
      Igual si fué por poco entonces estudiando bien seguro que en septiembre la aprobás.
      Y sí, las dos fechas anteriores fueron un poco más fácil que esta.
      Suerte!

  3. Guido dice:

    Damian:ayer me saque un 6 en el final y queria agradecerte por la ayuda durante este periodo, tanto en las clases de la profesora Campillo, como las que brindas en la pagina (de paso aprovecho a felicitarte por ella).
    Saludos!!!

    • dami dice:

      Hola Guido,
      Felicitaciones a vos por aprobar el final!
      Me alegro que te hayan servido las clases y el blog, y gracias por el comentario.
      Suerte!

  4. Daniela dice:

    En el 1 llegué a lo de -x<=y<=x y x<=4 y lo dejé ahí y seguí con otro porque no sabía que ya tenía todo xDD, el T2 lo hice bien, el E1 y E4 creo que también, y E2 y E3 me suena que me había quedado así la integral pero después tuve algún error resolviendolo porque me quedaban resultados feos. Igual ya está, la aprobé, gracias por la ayuda 🙂

  5. Fernando dice:

    Revisando los ejercicios llego a entenderlos, pero en el E4 debo estar calculando mal el area ya que no me da ese resultado. Agradecria si alguien podria agregar algun paso mas sobre la integral que propone para el calculo del area. Muchas gracias

  6. Sergio dice:

    Hola, te hago una consulta en el ejercicio con la ecuación diferencial y”+y’=2x con la condición de que la recta tangente a esa curva integral es y=1-2x sería correcto hacer y’=-2, reemplazar en la ecuación diferencial y resolver simplemente y’=2x-2 ??
    Es posible o estaría mal el planteo ??

    Otra consulta, como se determina la orientación de la normal cuando parametrizas la superficie, sin hacer el dibujo, o sea analíticamente?, No sé si se entendió mi pregunta

    Espero me puedas ayudar

    • dami dice:

      Hola Sergio,
      La EDO no estaría bien planteada porque la recta tangente vale sólo para el punto \vec{A}.

      La orientación de la superficie te explico con un ejemplo, si la superficie fuera el plano xy, y si la parametrización es g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 con g(u,v) = (u,v,0) entonces para saber a donde apunta el normal calculás
      g'_u = (1,0,0)
      g'_v = (0,1,0)
      g'_u \wedge g'_v = (0, 0, 1) = \hat{k}
      es decir que la parametrización corresponde a tomar el vector normal “hacia arriba” (con el versor \hat{k})

      Saludos,
      Damián.

  7. sergio dice:

    Hola gracias por la respuesta, interprete que como la recta y=1-x es tangente a la curva integral en el punto A entonces podia imponer que en ese punto justamante la recta toca a a la curva por eso decia que y’=-2 implicaba la resolución de y’=2x-2 con dicha resolución hallaba el punto B, Ahora no se si es casualidad porque cuando realizo la resolución de la ecuación diferencial obtengo y’=2x-2 ¿porque pasa esto?

    Por lo de la parametrización con ese ejemplo lo visualizo perfectamente pero en un ejemplo como este

    Usando el reotacional tengo que calcular del flujo de

    F=(3y,-xz,-yz^2) a travez de la superficie [tex]2z=x^2+y^2[/tex]

    tomando g(r,t)=(rcos t, rsen t, r^2/2)

    hacieno g’u x g’v=(-r^2cos t, -r^2sen t, t) rE(0,2) tE(0,2\pi)

    haciendo las cuentas respectivas obtengo el valor de -20\pi

    sin embargo el resultado es 20\pi o sea que es por un tema de orientación en la normal, pense que estaba bien orientada, como la tercer componente del producto vectorial es positiva ….. pero estaba equivocado, en un caso como este como determinas la orientación que debe llevar la normal ???

    gracias por tu tiempo

    PD: no se como hacer que mis ecuaciónes esten mas prolijas intente pegar las imagenes editadas con latex sin exito 😦

    • dami dice:

      Hola Sergio,
      No entiendo del todo tu pregunta sobre la EDO, copio un fragmento de tu comentario anterior:

      “en el ejercicio con la ecuación diferencial y”+y’=2x con la condición de que la recta tangente a esa curva integral es y=1-2x sería correcto hacer y’=-2, reemplazar en la ecuación diferencial y resolver simplemente y’=2x-2 ??”

      Es importante observar que no significa lo mismo y'(0) = -2 (que es correcto), que y' = -2 (que implicaría que y'' = 0) (por eso no entiendo del todo como llegás a y' = 2x-2) no es válido reemplazar y'(0) donde dice y' en la EDO, porque no son la misma cosa (la función ya está evaluada en y'(0)) Ojo, porque a veces haciendo pasos inválidos llegás al resultado correcto igual, a lo mejor de casualidad. Si no es eso lo que querías hacer detallame paso a paso que reemplazo hicistes.

      Respecto del ejercicio de flujo, si no te pide una orientación en particular, y el resultado dice 20\pi pero a vos te dió -20\pi, lo más probable es que lo hayas hecho bien, sólo que lo orientastes para el lado contrario (no hay una orientación “correcta” y otra “incorrecta”, a no ser que pida explícitamente cual quiere). Si está bien calculado tu vector normal,orientastes con el normal “hacia arriba”, pues el tercer componente del vector nunca es negativo.

      Para que las fórmulas te salgan bién con el \LaTeX, tenés que abrir el comando con $latex y cerrar con $, por ejemplo $latex f(x) = e^x $ para renderizar f(x) = e^x

      Suerte!

  8. sergio dice:

    Muchas gracias por tu explicación, sobre la ecuación diferencial ya no tengo dudas, lo que detallas en tu respuesta era lo que yo pensaba.

    Respecto a la orientación , tengo lo siguiente en los apuntes de la facu sobre el teorema del rotor
    “el sentido de circulacion de la curva C esta inducido por el sentido de orientación de la superficie S a travez de la regla de la mano derecha”
    También para la divergencia se usa una normal saliente a la superficie por eso la duda de la orientación del vector normal
    O sea por lo que entendi de la explicación se toma la normal saliente o sea con orientación positiva, es asi? o entendi todo mal.
    Por otro lado revisando algunas paginas en inet, observe que para determinar la orientación positiva toman un punto perteneciente a la superficie y lo evaluan en el vector resultado del producto vectorial de la parametrización, y mucho no estoy entendiendo esa parte, Por ejemplo en este otro ejercicio

    calcular el flujo de f(x,y,z)=(xy,zx,y-xz^2) a travez de la superfice y=x^3 con 0\leq{z}\leq{x+y}\quad x+y\leq{10}

    Calculo el flujo de manera directa

    a) tomo

    g(u,v)=(u,u^3,0)\Longrightarrow{g'_u\times{g'_v}=(-3u^2,1,0)}\Longrightarrow{\varphi=\dfrac{5618}{15}}

    b) pero si tomo

    g(u,v)=(u,u^3,0)\Longrightarrow{g'_v\times{g'_u}=(3u^2,-1,0)}\Longrightarrow{\varphi=-\dfrac{5618}{15}}

    siendo la respuesta la primera, no hay ningun dato mas acerca de la orientacion que deba llevar la normal, y como me doy cuenta en los pasos previos que la normal de la parametrización esta orientada en sentido positivo??

    gracias por tu ayuda

    • dami dice:

      Hola Sergio,
      Te estás haciendo lío con las orientaciones.
      Si la superficie es abierta (como es el caso en tu ejemplo) no existe orientación “saliente”, ni “positiva”. Simplemente orientás hacia un lado u hacia el otro (por eso piden que grafiquen la dirección de la normal en los finales).
      Por otro lado siempre se cumple que
      (g'_u \times g'_v) = - (g'_v \times g'_u)
      (con lo cual te queda el normal apuntando para el otro lado). Pero en la integral de superficie por definición siempre calculamos g'_u \times g'_v, y no al revés.

      (Una observación, creo que en la parametrización de tu ejemplo quisistes poner g(u,v) = (u, u^3, v) )

      Y lo que decís de los teoremas está bien; para el rotor debe cumplirse la regla de la mano derecha entre la orientación de la curva y la de la superficie, y para la divergencia siempre debe ser “saliente” o “positiva” (son superficies cerradas).

      Espero que te haya aclarado algunas dudas, es probable que por unos días no tenga mucho acceso a internet así que demore más en contestar. Te recomiendo practiques algunos ejercicios de flujo y de divergencia, (y ya que está de rotor) por ejemplo de la selección de ejercicios de finales

      Suerte!
      Damián.

  9. Sergio dice:

    muchas gracias por tu ayuda, la parametrización que sugerís era la que yo puse fue un error de transcripcion :P, tu explicación sobre la orientación de la normal me aclaro un poco mas el panorama, 😀 con un poco mas de práctica conseguire entenderlo mejor , gracias por el enlace a los finales esta muy bueno, aparte tiene las respuetas :), practicaré más el téma de la orientación de las superficies.

    No me presente a este final porque pensé que no estaba preparado, pero cuando lo pude obtener y lo resolví, y compare las respuestas mias con las tuyas, en lo unico que me equivoque fueron en las cuentas con las integrales, pero en todas tenia bien los límites de integracion, me quise matar cuando ví que en estes final los ejercicios eran más fáciles que los de la guía 😦 😦 😦 :(, gracias por tus respuestas y tu predisposición

    saludos

  10. Buenas. Te hago una consulta sobre el ejercicio de volumen que lo hice mal en el final por considerar cualquier cosa. El parámetro rho, ¿no varía desde 0 a [tex]sqrt(6)[/tex]? Porque sino me estoy equivocando en algo. Me da sensiblemente mayor el volumen, pero es la única diferencia que encuentro con respecto a la resolución. El resto, perfectamente explicado, muchas gracias.

  11. sergio dice:

    Hola alexis, no es como decis
    1) fijate que si tomamos coordenadas cilindricas

    $ latexg(r,\theta z)=(r\cos\theta,r\sen\theta,z) $

    2) reemplazamos estas coordenadas primero en la esfera y despues en el cono obtenemos que

    r\leq{z}\leq{\sqrt(6-\dfrac{r^2}{2})}

    y de aca obtenes que 0\leq{r}\leq{2}

    espero te sirva

  12. sergio dice:

    me salio mal las formulas y no se como editar o borrar el mensaje para corregir disculpas es

    r\leq{z}\leq{\sqrt{6-\dfrac{r^2}{2}}}

    saludos

  13. Perfecto, reemplacé mal. Ahí está, después me dieron todos. Muchas gracias.

  14. Leo dice:

    Consulta: Como llegan al limite de integracion 0 a 4 del T1?…

  15. sergio dice:

    Hola leo, solo es usar la teoria sabemos que si el cambio esta en coordenadas polares

    x=r\cos\theta \ \ \ \ y=r\sin\theta

    de los limites propuestos deducimos que

    0\leq r \leq \dfrac{4}{\cos\theta}\Longrightarrow{r\cos\theta}\leq 4

    usando que x=r\cos\theta

    obtenemos que 0\leq x \leq 4

    saludos

  16. Mariel dice:

    Hola! en el punto 4 , no entiendo de donde sale el plano ??

    • dami dice:

      Hola Mariel,
      Es el plano normal a una curva C. Primero parametrizá la curva así te va a ser fácil calcular el vector tangente a la curva que va a ser el normal del plano, me explico? Sabés como parametrizar la curva C?

  17. Mariel dice:

    no no, evidentemente no entiendo este ejercicio!

    • sergio dice:

      Hola mariel, creo que lo que dami quiere decir es: sabemos que la proyeccion sobre el plano xy es

      P_{xy}=(2t,t^2,0) y ademas \Sigma: z=xy

      tomando como referencia estos datos podemos encontrar la curva parametrizada en el espacio que es de la forma

      C(t)=(2t,t^2,2t^3)

      la tercer componente de la parametrización la obtenemos evaluando la proyección en la superficie sigma, para obtener el parametreo t simplemente haces

      C(t)= P con lo cual obtenés P(2,1,1) y t=1 haciendo C'(1) obtenes el plano normal buscado

      \pi_0: x+y+3z-9=0

      Para el cálculo del área simplemente usas la definición

      \displaystyle \iint || g'_u \times g'_v || dudv

      o como te lo hayan enseñado en la cursada .

      saludos

    • dami dice:

      Muy bien Sergio, te edité algún tag de latex que no parseaba nada más.

    • JAVI dice:

      el punto P no es (2,1,2) ?

  18. Mariel dice:

    muchas gracias!! ahora lo entendi!

  19. javi dice:

    disculpa no se como responder a un comentario ya posteado, lo copio del anterior (sergio),
    C(t)=(2t,t^2,2t^3)

    la tercer componente de la parametrización la obtenemos evaluando la proyección en la superficie sigma, para obtener el parametreo t simplemente haces

    C(t)= P con lo cual obtenés P(2,1,1) y t=1 haciendo C'(1) obtenes el plano normal buscado

    \pi_0: x+y+3z-9=0

    el punto P no es (2,1,2) ?
    saludos.

    • dami dice:

      Hola Javi,
      Para responder a un comentario ya posteado tenés que hacer click en el enlace que dice “Responder”.
      Fijate que cada comentario tiene la fecha de publicación y el enlace “Responder” debajo del nombre del usuario que comentó.

    • sergio dice:

      Hola javi, si es asi como decis, tuve un error de tipeo cuando transcribi la respuesta 😉

      saludos

  20. Damian, como estas? Como resolves el E1? La parte de la EDO, la obtenes como? Porque es de grado 2, yo resolvi pero me quedo dependiendo de e^x (viniendo de C1.e^r1x + C2.e^r2x) y veo que a ustedes les da otra cosa nada que ver.. no entiendo… gracias de antemano! La gente de este blog es genial, me ayudan mucho para prepararme para septiembre…

    • sergio dice:

      Hola, Juan Manuel , una manera que a mi se me ocurrió es tratarla

      como una lineal de primer orden, llamando

      y'=g con lo que la ecuación diferencial se transforma en

      g'+g=2x si hacemos g=u.v nos lleva a resolver

      v(u'+u)+uv'=2x haciendo los cálculos obtenes que

      g=y'=2(x-1)+c de los datos del ejercicio obtenes que

      A=(0,1) y además y'= -2 reemplazando en la ecuación

      diferencial obtenes que y'=2(x-1) integrando nuevamente

      \dfrac{dy}{dx}=2x-2 obtenes y=x^2-2x+k de donde

      finalmente y=x^2-2x+1

      saludos

      Pd yo tambien estoy preparandola para septiembre

  21. sergio dice:

    Dami, ¿ cómo puedo editar mis mensajes enviados cuando tengo errores ?? por ejemplo y'=-2 y otra formula que no se ve bien es \dfrac{dy}{dx}=2x-2

    • dami dice:

      Hola Sergio,

      Por como están las cosas no hay forma de que puedas editar diréctamente un comentario una vez que ya lo enviastes. (Así funciona wordpress, al menos por ahora).

      Si es un error de parseo de latex como por ejemplo si te olvidás de cerrar el tag, usualmente me tomo la libertad de editarlo y corregirlo.
      Como me aclarastes que y' = -2 me tomé la libertad de corregir eso también en tu comentario (antes decía y'=2)

      Lo que se hace en este blog habitualmente es, cuando te equivocás, copiá tu comentario, corregilo, y publicalo como otro comentario, entonces por lo general me doy cuenta de que pasó, y borro los comentarios anteriores que quedaron duplicados y con el error, me explico?

      En resumen, no te hagás demasiado problema si algo no salió bien en un comentario, mandalo de nuevo corregido.

      Saludos,
      Damián.

      PD: Muy bien resuelto tu ejercicio de la ec. diferencial.

    • sergio dice:

      Gracias dami 😉 muy bueno tu blog 😀

      saludos

  22. Sergio muchisimas gracias por tu respuesta, me despejaste la duda, de todos modos yo la encaré como EDO orden 2 , no homogenea y no me salio ni de casualidad… me entró esa duda? Si bien se resuelve bien como la hiciste vos, se puede usar como orden 1 asi nomas? Sabes bien ese tema?
    Te agradezco nuevamente y si rendis en septiembre y podes juntarte a estudiar estaria bueno si queres armar un grupo de estudio o algo, queda una semana pero bueno, yo vengo desde el 3 de agosto dandole duro…fijate y contactame si queres, abrazo, JM! mi mail es juanmanuelcolado@gmail.com

    • dami dice:

      Hola Juan,
      La ec. dif es y'' + y' = 2x, es de 2do orden, lineal, y a coeficientes constantes, por lo tanto también se puede resolver usando el método de las lineales de 2do orden no homogéneas.

      La ec. característica te queda
      \alpha^2 + \alpha = 0
      de donde la SG de la homogénea asociada es
      y_h = C_1 + C_2 e^{-x}

      Busquemos una SP
      y = Ax^2 + Bx + C
      y' = 2Ax + B
      y'' = 2A

      reemplazando
      2A + 2Ax + B = 2x
      2Ax + (2A + B) = 2x
      igualando término a término (de los polinomios)

      2A = 2
      2A + B = 0

      de donde
      A=1
      B = -2

      por lo tanto una SP es
      y_p = x^2 - 2x
      (tomás cualquier valor para C, yo tomé cero).

      Por lo tanto la SG de la EDO original es
      y = y_h + y_p
      y = C_1 + C_2 e^{-x} + x^2 - 2x

      Por las condiciones iniciales sabemos que
      y(0) = 1
      y'(0) = -2

      derivando la SG
      y' = -C_2 e^{-x} + 2x - 2

      y'(0) = -C_2 - 2 = -2
      de donde C_2 = 0

      va quedando
      y = C_1 + x^2 - 2x

      y como
      y(0) = C_1 = 1

      finalmente obtuvimos la solución particular buscada
      y = 1 + x^2 - 2x

      Saludos,
      Damián.

    • sergio dice:

      Hola juan manuel 😉 ahi te mande un mensaje al correo que me pasaste por el tema del grupo de estudio, 😉

      saludos

  23. Damian, muchas gracias por añadir a tu respuesta, pregunto dos cosas:

    1)Se puede hacer entonces de los dos modos? Como dijo Sergio y como mencionás vos?

    2) Porque usas un polinomio de grado 2 para igualar cuando en la expresion figura igualada a 2 X ?. No deberias usar uno de grado 1 (que es lo que yo hice y no me daba ni de casualidad asi lo que les daba a uds)?

    Espero tu respuesta, muchisimas gracias!

    • dami dice:

      Hola Juan Manuel,
      1) Si, cualquiera de las dos formas está bien.
      2) Recordá que el método de coeficientes indeterminados es medio “al tanteo” (en inglés lo llaman “lucky guess method”)

      Si la solución propuesta no funciona, a veces al multiplicarlo por x se arregla (y por eso queda un polinomio de grado 2 en vez de grado 1) 😉

      Suerte!
      Damián.

  24. No la tenia esa Damián, muchas gracias nuevamente por tu dedicacion, me has sido de enorme ayuda.

  25. Sergio fijate que te respondi ya el mail por el tema del grupo de estudio (pido disculpas al resto por ensuciar con estos comentarios pero evidentemente Sergio no vio mi correo y queria hacerselo saber), saludos, Juan Manuel

  26. javier Perez dice:

    Una pregunta colgada. Me quedo planteado las integrales triples en el Ejercicio E3, pero no puedo integrar cuando queda rho x la raiz de (12-rho^2)/2.

  27. javier dice:

    Consulta. En el punto E4, para que de el resultado esta proyectada la superficie sobre el plano yz .. Mi duda es por que tomo ese plano y no xy.. ?? Descarto el plano xy, debido a que el enunciado me indica que si proyecto en ese plano, me queda una curva y no una superficie?? Gracias

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