Final 27/12/2010

Pongo los resultados:

1) a)
\iint_{\Sigma} rot(f) dS = \iiint_V \underbrace{div(rot(f))}_{=0} dV = 0

b)
div(f) = g'(x) + 2g(x)
queda la EDO
g' + 2g = 2
su SG es
g(x) = 1 + c e^{-2x}
usando la condición inicial obtenemos la SP pedida
g(x) = 1 + e^{-2x}

2) a)
\int_{-1}^{1} dx \int_0^{\sqrt{1-x^2}} dy \int_{\sqrt{x^2 + y^2}}^{2-x^2-y^2} \sqrt{x^2 + y^2} dz

b) M = k \int_0^{\pi/2} d\phi \int_1^2 \rho^2 d\rho \int_0^{\rho} dz = \frac{15}{8}k\pi

3)
\phi(x,y) = xy + xy^2 + y + c
\int_A^B \vec{f} \vec{dc} = \phi(B) - \phi(A) = 20 - 3 = 17

4)
busco los puntos críticos de
f(x,y) = x^2 + xy^2 + 2y^2
\nabla f(x,y) = (2x + y^2, 2xy+4y) = (0,0)
se obtienen los puntos críticos
a=(0,0), b=(-2,2), c=(-2,-2)
los vértices del triángulo son
A=(0,0,0), B=(-2,2,4), C=(-2,-2,4)
el área de dicho triángulo es 4 \sqrt{5}

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26 respuestas a Final 27/12/2010

  1. Gerardo dijo:

    Tengo una duda respecto al punto 4.
    Una vez encontrados los puntos A, B y C, debo hallar la ecuación del plano que encierra el triángulo, la cual resulta ser z=-2x.
    Luego para obtener el área de dicho triángulo integro [-2,0]dx[x,-x]dy(-2x) y el resultado me da 32/3 y no 4*5^(1/2) como figura en los resultados arriba…
    Estoy haciendo algo mal? o es el resultado puesto que está mal?

    desde ya, muchas gracias

  2. Andrea dijo:

    Tengo dudas conel pto 1 b)…uso el teorema de gauss porque se q es una sup cerrada , obtengo la divergencia de f que es: g’ + 2g’ . La duda es porq se iguala a 2 asi directamente? el enunciado dice que es igual al doble del volumen del cuerpo. no logro ver la relacion entre esas 2 igualdades…sin calcular ninguna integral…

    Gracias
    Andrea

    • lucho dijo:

      es div(f) = g’+2g

      integral del volumen sobre la divergencia = flujo a traves de la sup

      entonces para q el flujo sea siempre = 2 . Vol ; la divergencia tiene q ser 2 (constante)

      de ahi igualas g’+2g=2 , no hace falta calcular ninguna integral, solo igualar la div a 2

  3. Andrea dijo:

    Hola Damian, el pto 1 b) me da g = 2 como rta final. Los pasos que hago son: a partir de g’ + 2g = 2 que es la EDLineal, obtengo su SG y me da g= 2 + C.e^-2x (en lugar de g= 1 + C.e^-2x ), luego con la c.i. la SP queda g=2.
    Si ven algun error me avisan porfavor! Gracias!!

  4. nicolas dijo:

    Damian que tal, en el punto 3, la función potencial obtenida queda con una constante escencial. ¿Cómo pudiste calcular la función en esos puntos entonces? Ví que los resultados son suponiendo C = 0, pero ¿porqué dió 0? Gracias.

  5. Gustavo dijo:

    Haciendo el ejercicio 2b, no me quedan claro los limites de integracion de Z, porque graficandolo no estoy viendo que arranque en z=0 y termine en RO. Si los deduzco analiticamente, los limites serían 0 y RO, pero graficamente me quedan RO y 2. Alguien que lo haya hecho podría comentarme cómo lo graficó?

  6. Gustavo dijo:

    Muchas Gracias!!!

  7. Fede dijo:

    Andrea
    ———

    por el punto 1b, la solucion general es g = Gh + Gp.
    Gh lo hiciste bien, pero para hallar Gp tenes que usar un polinomio de grado 0 => Gp = A => G’p = 0
    Y reemplazando eso en nuestra ecuacion g’ + 2.g = 2 nos queda:
    0 + 2.A = 2
    => A = 1 => Gp = A = 1

    => g = Gh + 1

    Nicolas
    ——–

    en el punto 3, cuando integras respecto de “x” y de “y” para obtener la funcion potencial, la constante escencial pasa a ser una funcion que depende de (x,y), ya que si por ejemplo estas integrando en funcion de “x” la funcion “escencial” puede ser tanto una constante como una funcion de “y”.
    Por esto, es que cuando resolves las 2 integrales, te fijas que tiene una que no tenga la otra.
    En este ejercicio, tenes:

    Fi respecto de x = xy + xy^2 + h(x,y)
    Fi respecto de y = xy + xy^2 + y + t(x,y)

    => h(x,y) = y ; t(x,y) = 0

    => Fi(x,y) = xy + xy^2 + y + C

    Con eso ya calculas la circulacion como Fi(B) – Fi(A), donde la C se resta con si misma.

    Gustavo
    ———-

    por el punto 2b, fijate que z arranca en 0 porque el enunciado dice 1er Octante.

    si lo podes imaginar, la figura te queda:
    el interior de un cilindro de radio 2
    sacandole un cilindro de radio 1
    y con tapa superior, el cono raiz cuad de x^2 + y^2

    Entonces, la integral triple la calculamos con cilindricas. La densidad es k.z = k.raiz cuad de x^2 + y^2.

    Los limites de integracion te quedan:

    tita: entre 0 y pi/2 (desde el eje x hasta el eje y positivos)
    ro: entre 1 y 2 (son los 2 radios de los cilindros)
    z: entre 0 y ro (desde el plano xy hasta el cono raiz cuad de x^2 + y^2)

    Y con esto te tiene que salir si o si.

    Suerte a todos !

  8. Alejandro dijo:

    Consulta!!
    en 2 b)
    ¿Porque a z lo reemplan por ro en vez de integrar “z” directamente? No entiendo, osea en un punto interior al cuerpo, z va a ser menor que ro.

  9. Alejandro dijo:

    k \int_0^\frac{\Pi}{2} d \lambda \int_1^2 \rho d\rho \int_0^\rho z dz

    y daria resultado 15\pi / 16

  10. Alejandro dijo:

    ahh listo tenes razón, no se por que lo estaba pensando como la distancia al plano z=0 en vez del eje z

  11. guido dijo:

    damian: en el ejercio 1)b) sacas la divergencia de f y te queda dicha igualdad. Lo que no entiendo, es donde sale ese 2 que aparece allí.
    Saludos,

    • dami dijo:

      Hola Guido,
      El campo es f(x,y,z) = (g(x), yg(x), zg(x) )
      Entonces su divergencia es
      div f(x,y,z) = g'(x) + g(x) + g(x) = g'(x) + 2g(x)

      Como queremos que el flujo se igual al doble del volumen del cuerpo que encierra la superficie, por el teorema de la divergencia
      \iint_{S = \partial H} f dS = \iiint_H div f dV
      si hacemos que la divergencia valga 2, es decir div f = 2 entonces
      \iint_S f dS = \iiint_H 2 dV = 2 \cdot Vol(H)

      Por lo tanto
      g' + 2g = 2
      Suerte!

  12. guido dijo:

    gracias!!

  13. Perfecto, muchas gracias! Nada mas se ve que estoy haciendo mal las cuentas porque no llego al resultado que le dió a Andrea, gracias nuevamente…abrazo!

  14. javier dijo:

    Alguien me podria aclarar el punto 1 a). Si bien yo se que el teorema de la divergencia me indica el flujo, Como llegaria a decir que la divergencia del rotor es igual a cero. No lo veo . Gracias!!

  15. Martin dijo:

    Primero se calcula rotor:
    \nabla\times f = (\frac{\mathrm{df_{3}} }{\mathrm{d} y}-\frac{\mathrm{df_{2}} }{\mathrm{d} z};\frac{\mathrm{df_{1}} }{\mathrm{d} z}-\frac{\mathrm{df_{3}} }{\mathrm{d} x};\frac{\mathrm{df_{2}} }{\mathrm{d} x}-\frac{\mathrm{df_{1}} }{\mathrm{d} y})

    Ahora la divergencia del rotor:
    div(\nabla\times f) = (\frac{\mathrm{d^{2}f_{3}} }{\mathrm{d} x\mathrm{d} y}-\frac{\mathrm{d^{2}f_{2}} }{\mathrm{d} x\mathrm{d} z}+\frac{\mathrm{d^{2}f_{1}} }{\mathrm{d} y\mathrm{d} z}-\frac{\mathrm{d^{2}f_{3}} }{\mathrm{d} y\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d^{2}f_{2}} }{\mathrm{d} z\mathrm{d} x}-\frac{\mathrm{d^2f_{1}} }{\mathrm{d} z\mathrm{d} y})

    Como f \in C^{2} se puede decir que las derivadas cruzadas son iguales \frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x\mathrm{d} y} = \frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} y\mathrm{d} x}

    Ahora se puede ver que el primer término (\frac{\mathrm{d^{2}f_{3}} }{\mathrm{d} x\mathrm{d} y} ) es igual y opuesto al cuarto (-\frac{\mathrm{d^{2}f_{3}} }{\mathrm{d} y\mathrm{d} x} ), entonces se cancelan. También el segundo (-\frac{\mathrm{d^{2}f_{2}} }{\mathrm{d} x\mathrm{d} z} ) y el quito (+\frac{\mathrm{d^{2}f_{2}} }{\mathrm{d} z\mathrm{d} x} ). Finalmente también son iguales y opuestos el tercero (\frac{\mathrm{d^{2}f_{1}} }{\mathrm{d} y\mathrm{d} z} ) y el sexto (-\frac{\mathrm{d^2f_{1}} }{\mathrm{d} z\mathrm{d} y} ).

    Como todos los términos se cancelan, finalmente div(\nabla\times f) = 0 . Demostrando que “la divergencia de un rotor es 0”.

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