Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo 
c) 
Solución:
La ecuación de la esfera de radio
Despejando 
De la ecuación 
o sea que es un cilindro de radio 
Usando coordenadas cilíndricas:
Transformamos al cilindro
y transformamos la esfera
Por lo tanto el volumen vendrá dado por:
Queremos evaluar
Sustituyo
La integral definida queda entonces:
![\left[\frac{-1}{3}(4a^2 - \rho^2)^{3/2} \right]_0^{2a\cos(\phi)}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%5Cfrac%7B-1%7D%7B3%7D%284a%5E2+-+%5Crho%5E2%29%5E%7B3%2F2%7D+%5Cright%5D_0%5E%7B2a%5Ccos%28%5Cphi%29%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002 "\left[\frac{-1}{3}(4a^2 - \rho^2)^{3/2} \right]_0^{2a\cos(\phi)}")
Retomando la integral de volúmen:
![2 \frac{8a^3}{3} \left[ -\cos(\phi) + \frac{\cos^3(\phi)}{3} \right]_{-\pi/2}^{0} - 2 \frac{8a^3}{3} \left[ -\cos(\phi) + \frac{\cos^3(\phi)}{3} \right]_{0}^{\pi/2} + \frac{16}{3}a^3\pi](https://s0.wp.com/latex.php?latex=2+%5Cfrac%7B8a%5E3%7D%7B3%7D+%5Cleft%5B+-%5Ccos%28%5Cphi%29+%2B+%5Cfrac%7B%5Ccos%5E3%28%5Cphi%29%7D%7B3%7D+%5Cright%5D_%7B-%5Cpi%2F2%7D%5E%7B0%7D+-+2+%5Cfrac%7B8a%5E3%7D%7B3%7D+%5Cleft%5B+-%5Ccos%28%5Cphi%29+%2B+%5Cfrac%7B%5Ccos%5E3%28%5Cphi%29%7D%7B3%7D+%5Cright%5D_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi%2F2%7D+%2B+%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7Da%5E3%5Cpi&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002 "2 \frac{8a^3}{3} \left[ -\cos(\phi) + \frac{\cos^3(\phi)}{3} \right]_{-\pi/2}^{0} - 2 \frac{8a^3}{3} \left[ -\cos(\phi) + \frac{\cos^3(\phi)}{3} \right]_{0}^{\pi/2} + \frac{16}{3}a^3\pi")
El siguiente es el gráfico del cuerpo para el valor de
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
reparametrize(r*cos(p), sqrt(4-r^2), r*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, r, 0, 2*cos(p)),
reparametrize(r*cos(p), -sqrt(4-r^2), r*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, r, 0, 2*cos(p)),
color=light-blue,
reparametrize((2*cos(p))*cos(p), y, (2*cos(p))*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, y, -sqrt(4-4*cos(p)^2), sqrt(4-4*cos(p)^2))
);
.
Por qué se desdobla la interal en fi en dos partes? Por practicidad o por alguna otra razón? O sea, la que va desde -pi/2 hasta pi/2
Muchas gracias
(alumno UTN, (carnevali))
Hola Jonathan,
Fijate que en la integral aparece un módulo, por eso se divide en dos partes, haciendo la parte positiva por un lado y la negativa (restando) por el otro.
Suerte,
Damián.
Sobre la misma pregunta de Jonathan, porque esa integral va de -pi/2 a pi/2 ? osea como sabes que va entre esos valores ? y no entre(por ejemplo) 0 a 2pi .. ?
Fijate que de
por transitivad
, desde aca solo es aplicar lo que se vio en el ingreso, ¿en que cuadrantes es positiva la funcion coseno? si sabes eso
no se porque no se ve una formula, por transitividad
buenas noches,
en la parte que resuelve la integral definida, en el anteúltimo paso, yo lo que hice es tomar como factor común
8(a^3)/3 y me quedó
8(a^3)/3 (-sen^2 + 1)^3/2
8(a^3)/3 (cos^2)^3/2
sería incorrecto ésto? ya que el resultado final me da 0, no entiendo por qué estaría mal mi razonamiento
Lo del módulo no lo había hecho así (de separar las integrales) pero me sigue dando 0 el resultado.
Desde ya, muchas gracias.
Hola Marina,
Al sacar factor común fijate que te debe quedar un +1 que no escribistes.
Y lo del módulo es importante que esté bien.
Saludos,
Damián.
Hola Damián,
gracias por la respuesta. Disculpame pero no comprendo lo del “+1”.
Me podrías indicar como quedaría la expresión? Evidentemente hay algo que no estoy viendo o estoy haciendo mal.
Desde ya, muchas gracias!