Tp.8 Ej.10.c

Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.

c) H definido por x^2 + z^2 \leq 2ax, interior a la esfera de radio 2a con centro en el origen de coordenadas.

Solución:

La ecuación de la esfera de radio 2a es:
x^2 + y^2 + z^2 = (2a)^2
Despejando y:
y = \pm \sqrt{(2a)^2 - x^2 - z^2}

De la ecuación x^2 + z^2 = 2ax, completando cuadrados resulta:
x^2 -2ax + z^2 = 0
(x-a)^2 + z^2 = a^2
o sea que es un cilindro de radio a, pero está corrido sobre el eje x de forma tal que su eje de simetría es del tipo r(t) = (a,t,0)

Usando coordenadas cilíndricas:
\begin{cases} x = \rho \cos(\phi) \\ y = y \\ z = \rho\sin(\phi) \end{cases}
|J| = \rho

Transformamos al cilindro
\rho^2 = 2a \rho\cos(\phi)
\rho = 2a \cos(\phi)

y transformamos la esfera
y = \pm \sqrt{4a^2 - \rho^2}

Por lo tanto el volumen vendrá dado por:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi \int_0^{2a\cos(\phi)} \rho d\rho \int_{-\sqrt{4a^2-\rho^2}}^{\sqrt{4a^2-\rho^2}}dy

2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi \int_0^{2a\cos(\phi)} \rho \sqrt{4a^2 - \rho^2} d\rho

Queremos evaluar \int_0^{2a\cos(\phi)} \rho \sqrt{4a^2 - \rho^2} d\rho

Sustituyo u = 4a^2 - \rho^2
du = -2\rho d\rho

\frac{-1}{2} \int \sqrt{u} du
= \frac{-1}{2} \frac{2}{3} u^{3/2} + c
= \frac{-1}{3} (4a^2 - \rho^2)^{3/2} + c
La integral definida queda entonces:
\left[\frac{-1}{3}(4a^2 - \rho^2)^{3/2} \right]_0^{2a\cos(\phi)}
= \frac{-1}{3}(4a^2 - 4a^2\cos^2(\phi))^{3/2} + \frac{8}{3}a^3
= \frac{-8a^3}{3}(1 - \cos^2(\phi))^{3/2} + \frac{8}{3}a^3
= \frac{-8a^3}{3}(\sin^2(\phi))^{3/2} + \frac{8}{3}a^3
= \frac{-8a^3}{3}|\sin(\phi)|^3 + \frac{8}{3}a^3

Retomando la integral de volúmen:
2 \int_{-\pi/2}^{0} \frac{8a^3}{3}\sin^3(\phi) d\phi - 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{8a^3}{3}\sin^3(\phi)d\phi + \frac{16}{3}a^3\pi

2 \frac{8a^3}{3} \left[ -\cos(\phi) + \frac{\cos^3(\phi)}{3} \right]_{-\pi/2}^{0} - 2 \frac{8a^3}{3} \left[ -\cos(\phi) + \frac{\cos^3(\phi)}{3} \right]_{0}^{\pi/2} + \frac{16}{3}a^3\pi

= \frac{16a^3}{3}(-1 + \frac{1}{3}) - \frac{16a^3}{3}(0 - (-1 + \frac{1}{3})) + \frac{16}{3}a^3\pi

= \frac{-64}{9}a^3 + \frac{16}{3}a^3\pi

= a^3 \left( \frac{16}{3}\pi - \frac{64}{9} \right) \approx (9.644)a^3

El siguiente es el gráfico del cuerpo para el valor de a=1


reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
reparametrize(r*cos(p), sqrt(4-r^2), r*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, r, 0, 2*cos(p)),
reparametrize(r*cos(p), -sqrt(4-r^2), r*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, r, 0, 2*cos(p)),
color=light-blue,
reparametrize((2*cos(p))*cos(p), y, (2*cos(p))*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, y, -sqrt(4-4*cos(p)^2), sqrt(4-4*cos(p)^2))
);

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8 comentarios en “Tp.8 Ej.10.c”

  1. Por qué se desdobla la interal en fi en dos partes? Por practicidad o por alguna otra razón? O sea, la que va desde -pi/2 hasta pi/2

    Muchas gracias

    (alumno UTN, (carnevali))

    Responder

    • Hola Jonathan,
      Fijate que en la integral aparece un módulo, por eso se divide en dos partes, haciendo la parte positiva por un lado y la negativa (restando) por el otro.
      Suerte,
      Damián.

      Responder

  2. Sobre la misma pregunta de Jonathan, porque esa integral va de -pi/2 a pi/2 ? osea como sabes que va entre esos valores ? y no entre(por ejemplo) 0 a 2pi .. ?

    Responder

  3. buenas noches,

    en la parte que resuelve la integral definida, en el anteúltimo paso, yo lo que hice es tomar como factor común
    8(a^3)/3 y me quedó
    8(a^3)/3 (-sen^2 + 1)^3/2
    8(a^3)/3 (cos^2)^3/2

    sería incorrecto ésto? ya que el resultado final me da 0, no entiendo por qué estaría mal mi razonamiento

    Lo del módulo no lo había hecho así (de separar las integrales) pero me sigue dando 0 el resultado.

    Desde ya, muchas gracias.

    Responder

    • Hola Marina,
      Al sacar factor común fijate que te debe quedar un +1 que no escribistes.
      Y lo del módulo es importante que esté bien.
      Saludos,
      Damián.

      Responder

      • Hola Damián,
        gracias por la respuesta. Disculpame pero no comprendo lo del “+1”.
        Me podrías indicar como quedaría la expresión? Evidentemente hay algo que no estoy viendo o estoy haciendo mal.

        Desde ya, muchas gracias!

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