Final 07/02/2017

Respuestas

T1) Se cumple.
T2) 144\pi
E1) 32k
E2) 81
E3) 9\pi
E4) y = 3 + 5x

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15 comentarios en “Final 07/02/2017

    • Hola Silvina,
      Primero tenés que averiguar \phi que es la función potencial de f, te va a quedar
      \phi(x,y) = x^2 + y^2 - 4y + c
      como \phi(0,0) = 1 te queda
      \phi(0,0) = c = 1
      luego la \phi buscada es
      \phi(x,y) = x^2 + y^2 - 4y + 1

      Luego te habla de la curva de potencial 6 de f, esto es la curva de nivel 6 de \phi o sea

      x^2 + y^2 - 4y + 1= 6
      x^2 + y^2 - 4y = 5

      completando cuadrados
      x^2 + (y-2)^2 - 4= 5
      x^2 + (y-2)^2 = 9

      vemos que es una circunferencia de radio r=3 y centro (0,2)

      Ojo ahora, pedía el area usando integral doble, como la circunferencia no está centrada en el origen habría o bien que trasladar las coordenadas polares al (0,2), o bien *aclarar* que como el área no cambia por rototraslaciones podés colocar la circunferencia en el origen para usar polares. Por supuesto que el area debe darte \pi r^2 = 9\pi

      Saludos,
      Damián.

      • Me terminó dando el resultado, pero no sé si medio a la fuerza…

        Me dan el punto (0,Y0), entiendo que x0=0, y0 lo averigüé en la ecuación de la recta tg, me dio 3.
        Poniendo (0,3) en la gral y=C+K.e^-x +5x, me quedó 3=c+k.
        Derivando la gral y poniendo (0,5) en la gral, me queda que sólo puede ser k=0… llegando a y=3+5x… pero está correcta la manera? Mil gracias!

      • Hola Sergio,
        Las cuentas son correctas ¿cual sería la duda? Lo que si te diría que aclares porqué pones (0,5) después de derivar la general: la idea es que de la recta tangente sale que y(0) = 3 y que y'(0) = 5.
        Saludos,
        Damián.

    • Hola Manuel,
      Yo lo hice parametrizando la superficie con g(u,v) = (u, 9-u^2, v), el vector normal queda N = g'_u \times g'_v = (-2u, -1, 0) pero decidí cambiar la orientación así que tomé como normal (2u, 1, 0) (orienté hacia y^+).
      Luego la integral me quedó
      \int_0^3 du \int_0^{3-u} (u, 18-2u^2, 3v) \cdot (2u, 1, 0) dv
      El integrando se simplifica y queda
      \int_0^3 du \int_0^{3-u} 18 dv
      Que es igual a 18 veces el area de la región de integración que es un triángulo rectángulo con catetos de longitud 3, luego la integral vale 18 \cdot \frac{3 \cdot 3}{2} = 81
      Saludos,
      Damián.

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