Tp.9 Ej.5.c

Calcule el área de las siguientes superficies:
c) Trozo de cilindro x^2 + z^2 = 4 con -x \leq y \leq x, z \geq 0

Solución:
Es una superficie cilíndrica de radio 2 sobre el eje y.
Partiendo de las coordenadas cilíndricas:
x = \rho \cos(\phi)
y = y
z = \rho \sin(\phi)

podemos parametrizar nuestra superficie como:
S(u,v) = (2 \cos(u), v, 2 \sin(u))
Sus vectores tangentes son:
S'_u = (-2 \sin(u), 0, 2 \cos(u))
S'_v = (0, 1, 0)
Su producto vectorial:
S'_u \times S'_v = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ -2 \sin(u) & 0 & 2 \cos(u) \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right| = i(-2\cos(u)) - j(0) + k(-2\sin(u))
= (-2\cos(u), 0, -2\sin(u))
Su norma es:
|N| = \sqrt{4 \cos^2(u) + 4 \sin^2(u)} = 2

Ahora nos falta encontrar los límites de integración. Transformamos las restricciones originales:
-2\cos(u) \leq v \leq 2\cos(u)
2\sin(u) \geq 0

de la segunda restricción:
0 \leq u \leq \pi

Pero como -x \leq y \leq x entonces x \geq 0 por lo tanto 2\cos(u) \geq 0 o sea que en definitiva nos queda:
0 \leq u \leq \frac{\pi}{2}

El gráfico de la superficie es:
tp9_ej5c_bis
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(2*cos(u),v,2*sin(u),u,0,%pi/2,v,-2*cos(u),2*cos(u))
);

Reemplazando todo en la integral:
2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} du \int_{-2\cos(u)}^{2\cos(u)} dv

2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4 \cos(u) du

8 [\sin(u)]_0^{\pi/2} = 8(1-0) = 8

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11 respuestas a Tp.9 Ej.5.c

  1. gabriel dijo:

    no comprendo lo siguiente:
    “Pero como -x \leq y \leq x entonces x \geq 0 por lo tanto 2\cos(u) \geq 0 o sea que en definitiva nos queda:
    0 \leq u \leq \frac{\pi}{2}

    o sea, por qué teniendo 0 \leq u \leq \pi se pasa a tener 0 \leq u \leq \frac{\pi}{2}

    gracias

    • damidami dijo:

      Hola Gabriel,
      La segunda restricción es z \geq 0 que en los parámetros de la superficie se traduce en 2\sin(u) \geq 0 lo cual es válido en el intervalo 0 \leq u \leq \pi, pero eso no implica que esos sean los límites de integración para u porque hay que tener en cuenta todas las restricciones. La primera restricción es -x \leq y \leq x que se traduce en -2\cos(u) \leq v \leq 2\cos(u)
      Pero para que esto sea válido debe darse que -2\cos(u) \leq 2\cos(u) lo cual sólo es válido entre -\frac{\pi}{2} \leq u \leq \frac{\pi}{2}.
      Como debe cumplirse ambas restricciones, calculamos la intersección de esos intervalos y nos queda que 0 \leq u \leq \frac{\pi}{2}
      Avisame si ahora se entiende mejor, cualquier duda volvé a consultar.
      Saludos,
      Damián.

  2. Juan dijo:

    Hola damian, disculpa tengo una duda, si yo expreso de forma implicita F(xyz)=x^{2}+z^{2}-4 el area me quedaria \int_{-2}^{2}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4-x^{2}}}dx\int_{-x}^{x}dy

    • Juan dijo:

      $latex F(xyz)=x^{2}+z^{2}-4 el area me quedaria \int_{-2}^{2}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4-x^{2}}}dx\int_{-x}^{x}dy

      • Juan dijo:

        F(xyz)=x^{2}+z^{2}-4 el area me quedaria
        \int_{-2}^{2}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4-x^{2}}}dx\int_{-x}^{x}dy

      • dami dijo:

        Hola Juan,

        Si resuelvo la integral que escribistes con la calculadora TI-89 obtengo

        como verás da cero, lo cual no es el área correcta.

        Primero veo que no está bien el límite de integración pues x \geq 0 (sale de que -x \leq x)
        Corrigiendo eso la integral da

        lo cual tampoco es correcto.

        Finalmente observo que también hay un (o varios) errores en el cálculo del integrando, pues
        \nabla F = (2x, 0, 2z)
        || \nabla F || = \sqrt{4 x^2 + 4z^2}
        sobre la superficie
        || \nabla F || = 2 \sqrt{x^2 + 4 - x^2} = 4 \neq \sqrt{2}
        Y el denominador
        |F'_z| = 2z
        en la supercicie
        |F'_z| = 2\sqrt{4-x^2} \neq \sqrt{4-x^2}

        O sea que lo correcto sería
        \int_0^2 \frac{4}{2 \sqrt{4-x^2}} dx \int_{-x}^x dy

        que efectivamente da 8.
        Saludos,
        Damián.

  3. Juan dijo:

    Muchas gracias por responderme, te queria hacer una pregunta con respecto a un ejercicio de flujo que no me sale,
    Calcular el flujo de f=(3x+y^{2},y-z,z+x^{^{2}}) a través de la frontera del solido definido por x^{2}+y^{2}\leq 4 y z\leq 2x en el primer octante.
    La respuesta es 90. A mi me da 80/3.

  4. sergio dijo:

    hola dami… tengo una consulta

    tengo el siguiente ejercicio

    Dado

    f\subset{R^2}\longrightarrow{R^2}/f(x,y)=\left(\dfrac{-2ay}{(ax)^2+4y^2},\dfrac{2ax}{(ax)^2+4y^2}\right) donde a>0

    calcular

    \int_{C_2^+} fds donde C2 viene parametrizada por

    C_2=(t,\sqrt{4a^2-t^2})\quad -2a\leq{t}\leq{2a}

    Observo que dicha parametrizacion corresponde “a la mitad de una circunferencia” no es cerrada, y que  ademas que el campo no esta definido en el (0,0) entonces, para poder aplicar el teorema de green tengo que cerrar esa curva, con una C3 y asi poder definir

    \int_{C_2^+}fds+\int_{C_3^+}fds=\iint_R (Q_x-P_y) dA

    de donde

    \int_{C_2^+}fds=\iint_R (Q_x-P_y) dA-\int_{C_3^+}fds

    la duda que tengo es la siguiente… al no estar definido el campo en el (0,0) ¿no puedo cerrar la curva, por ejemplo con la ecuacion y=0? como green solo me exige que defina un área cerrada, ¿o no puedo tomar ninguna curva que pase por el origen?

    Otra forma que también se me ocurrio es calcular una función potencial
    \phi(x,y) siempre y cuando se cumplan las condiciones para hacerlo, suponiendo que si… tengo la misma duda… si existe función potencial, entonces la circulación no depende de la parametrización elegida, pero ¿que el campo no este definido en el  (0,0) me impone alguna restricción?

     

    • dami dijo:

      Hola Sergio,

      La curva C_2 es media elipse (no circunferencia). Por lo que veo, no se pide aplicar ningún teorema, lo podés hacer por circulación directo.

      Si igual querés aplicar el teorema de Green, efectivamente la curva “tapa” que elijas no puede contener el (0,0). La pregunta es si encerrás el origen o no. En ese caso vas a tener que aplicar green para regiones múltiplemente conexas. (Capaz sale más rápido si no encerrás el origen)

      No parece ser un campo conservativo por lo que lo de la función potencial no va a funcionar. Si el campo fuera conservativo pero no estubiera definido en el origen, la integral no dependería del camino pero las curvas que tomes no podrían contener al origen.

      Yo te recomiendo hacerlo sin aplicar ningún teorema. Lo que sí capaz te conviene reparametrizar la semielipse, usando funciones trigonométricas en vez de raíces.

      Suerte!
      Damián.

  5. sergio dijo:

    Gracias por responder dami… .. efectivamente el campo no es conservativo entonces no puedo hallar la funcion potencial… ahora a ver si compredi bien, si el campo fuese conservativo entonces , por mas que no esta definido en el origen puedo calcular la circulacion… lo que no entiendo bien es cando decis “pero las curvas que tomes no podrían contener al origen.” ahi tengo dudas, ya que la funcion potencial una vez hallada es de la forma

    \phi(x,y)=h(x,y)+K

    en que parte entra lo de las curvas ??

    Otra cosa

    x=t\\\\ y=\sqrt{4a^2-t^2}

    entonces

    y=\sqrt{4a^2-x^2}\to x^2+y^2=(2a)^2

    no es una circunferencia??

    una pregunta mas…. si quiero encontrar una curva tapa, para encerrar al origen , con la indicacion sobre regiones multiplemente conexas, para encerrar al origen tendria que tomarlas curvas

    y=-\sqrt{4a-x^2}

    y=0 \quad\mbox{con}\quad -2a<y<-1/2

    y=0 \quad \mbox{con}\quad 1/2<y<2a

    -1/2<x^2+y^2<1/2

    eso estaria bien ??

    como bien dijiste conviene reparametrizar la elipse y plantear el calculo directo sin el teorema de green….

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