Tp.9 Ej.10.d

Calcule el flujo de f a través de S, indicando gráficamente la orientación del versor normal que ha elegido, o bien que se le solicite en cada caso.

d) f(x,y,z) = (y,x,y) \wedge (x,z,y) a través del trozo de plano tangente a la superficie de ecuación z=x^2 - yx^3 en el punto (1,2,-1) con (x,y) \in [0,2] \times [1,3].

Solución:

Primero desarrollamos el campo vectorial:

f(x,y,z) = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ y & x & y \\ x & z & y \end{matrix} \right| = (xy-yz, yx - y^2, yz-x^2)

Ahora buscamos el plano tangente a la superficie.
Defino:
G(x,y,z) = x^2 - yx^3 - z

\nabla G = (2x - 3yx^2, -x^3, -1)

Por lo tanto un vector normal al plano tangente es:
\nabla G(1,2,-1) = (-4, -1, -1)

El plano tangente es:
(x-1,y-2,z+1)(4,1,1) = 0
4x-4 + y-2 + z+1 = 0
4x + y + z = 5
z = 5-4x-y

Parametrizamos con respecto a xy:
S(x,y) = (x,y, 5 - 4x - y)
0 \leq x \leq 2
1 \leq y \leq 3

Buscamos el normal a partir de la parametrización:
S'_x = (1,0,-4)
S'_y = (0,1,-1)

N = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right| = (4, 1, 1)

También podríamos haber obtenido el vector normal con la misma orientación de la siguiente forma:

N = -\frac{\nabla G}{|G'_z|} = \frac{-(-4,-1,-1)}{|-1|} = (4,1,1)

Ahora componemos el campo vectorial con la superficie:
f(S(x,y)) = (xy-y(5-4x-y), yx - y^2, y(5-4x-y)-x^2)
= (xy-5y+4xy+y^2, yx - y^2, 5y - 4xy - y^2 -x^2)
= (-5y+5xy+y^2, yx - y^2, 5y - 4xy - y^2 -x^2)

Entonces el flujo pedido es:

\int_0^2 dx \int_1^3 (-5y+5xy+y^2, yx - y^2, 5y - 4xy - y^2 -x^2) (4,1,1) dy

\int_0^2 dx \int_1^3 -20y+20xy+4y^2 + yx - y^2 + 5y - 4xy - y^2 -x^2 dy

\int_0^2 dx \int_1^3 -15y + 17xy + 2y^2 -x^2 dy

\int_0^2 dx \left[ \frac{-15}{2}y^2 + \frac{17}{2}xy^2 + \frac{2}{3}y^3 - x^2y \right]_1^3

\int_0^2 dx \left( \frac{-135}{2} + \frac{153}{2}x + \frac{54}{3} - 3x^2 - (\frac{-15}{2} + \frac{17}{2}x + \frac{2}{3} - x^2) \right)

\int_0^2 dx \left( \frac{-99}{2} + \frac{153}{2}x - 3x^2 + \frac{41}{6} - \frac{17}{2}x + x^2 \right)

\int_0^2 \frac{-128}{3} + \frac{153}{2}x - 3x^2 - \frac{17}{2}x + x^2 dx

\int_0^2 \frac{-128}{3} + 68x - 2x^2 dx

\left[ \frac{-128}{3}x + 34x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^2

\left( \frac{-256}{3} + 136 - \frac{16}{3} \right)

= \frac{136}{3}

El siguiente es el gráfico de la superficie y del plano tangente. El vector normal lo tomamos con todos los componentes positivos, por lo tanto es hacia “arriba”, o sea N \cdot k > 0.

tp9_ej10d
draw3d(
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
surface_hide = true,
color = "light-blue",
parametric_surface(x,y,x^2 - y*x^3, x,0,2,y,1,3),
color = "blue",
parametric_surface(x,y,5-4*x-y, x,0,2,y,1,3),
color = "red", line_width = 4,
parametric(1,2,-1,t,0,1)
);

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2 respuestas a Tp.9 Ej.10.d

  1. Matias dijo:

    Cuando decis.. componemos con la superficie no entiendo que haces y como llegas a ese resultado, podrias explicarme?

    No habria que componer con z = 5- 4x – y ????

    Gracias!

    • damidami dijo:

      Hola Matías,
      El campo vectorial es del tipo f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 y la ecuación paramétrica de la superficie es del tipo S:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3
      La composición que hago es (f \circ S) = f(S(x,y)): \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3
      Es cierto que esa ecuación que escribís (el plano z=5-4x-y) es la ecuación cartesiana de la superficie, pero para hacer la composición utilizo la ecuación paramétrica.
      Saludos,
      Damián.

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