Tp.9 Ej.5.b

Calcule el área de las siguientes superficies:

b) Trozo de semicono z = \sqrt{2x^2 + 2y^2} interior a la esfera de radio 12 con centro en \vec{0}

Solución:

La ecuación de la esfera es:
x^2 + y^2 + z^2 = (12)^2

Calculo la intersección con el semicono:
x^2 + y^2 + 2x^2 + 2y^2 = (12)^2
x^2 + y^2 = 48

Por lo tanto se intersecta en una circunferencia de radio 4 \sqrt{3}
Reemplazando en el cono tenemos que está contenida en el plano z = 4\sqrt{6}.

Por lo tanto parametrizamos el semicono de la siguiente manera: (tomando “polares” entre las variables x e y)

S(u,v) = (u \cos(v), u \sin(v), \sqrt{2} u)
0 \leq u \leq 4 \sqrt{3}
0 \leq v \leq 2\pi

Ahora calculamos el vector normal:

S'_u = (\cos(v), \sin(v), \sqrt{2})
S'_v = (-u\sin(v), u\cos(v), 0)

N = S'_u \wedge S'_v = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ \cos(v) & \sin(v) & \sqrt{2} \\ -u\sin(v) & u\cos(v) & 0 \end{matrix} \right|

= (-\sqrt{2}u\cos(v), -\sqrt{2}u\sin(v), u)

La norma del vector normal es:
|N| = \sqrt{2u^2\cos^2(v) + 2u^2\sin^2(v) + u^2}
= \sqrt{2u^2 + u^2}
= \sqrt{3}u

Por lo tanto el área pedida (del semicono) es:

\sqrt{3} \int_0^{2\pi} dv \int_0^{4\sqrt{3}} u \ du = 48\sqrt{3}\pi

En el siguiente gráfico se puede ver el semicono en azul, y la esfera en celeste (se graficó abierta para que pueda verse el semicono en su interior)


draw3d(
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
surface_hide = true,
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), sqrt(2)*u, u, 0, 4*sqrt(3), v, 0, 2*%pi),
color = "light-blue",
parametric_surface(12*cos(u)*sin(v), 12*sin(u)*sin(v), 12*cos(v), u, 0, 2*%pi*0.75, v, 0, %pi)
);

Anuncios
Esta entrada fue publicada en TP09 - Integrales de Superficie y Flujo. Guarda el enlace permanente.

2 respuestas a Tp.9 Ej.5.b

  1. Daniel dijo:

    Una consulta, al realizar el cambio de variables, no es preciso multiplicar por el Jacobiano, en este caso u?

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s