Tp.9 Ej.5.b

Calcule el área de las siguientes superficies:

b) Trozo de semicono z = \sqrt{2x^2 + 2y^2} interior a la esfera de radio 12 con centro en \vec{0}

Solución:

La ecuación de la esfera es:
x^2 + y^2 + z^2 = (12)^2

Calculo la intersección con el semicono:
x^2 + y^2 + 2x^2 + 2y^2 = (12)^2
x^2 + y^2 = 48

Por lo tanto se intersecta en una circunferencia de radio 4 \sqrt{3}
Reemplazando en el cono tenemos que está contenida en el plano z = 4\sqrt{6}.

Por lo tanto parametrizamos el semicono de la siguiente manera: (tomando “polares” entre las variables x e y)

S(u,v) = (u \cos(v), u \sin(v), \sqrt{2} u)
0 \leq u \leq 4 \sqrt{3}
0 \leq v \leq 2\pi

Ahora calculamos el vector normal:

S'_u = (\cos(v), \sin(v), \sqrt{2})
S'_v = (-u\sin(v), u\cos(v), 0)

N = S'_u \wedge S'_v = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ \cos(v) & \sin(v) & \sqrt{2} \\ -u\sin(v) & u\cos(v) & 0 \end{matrix} \right|

= (-\sqrt{2}u\cos(v), -\sqrt{2}u\sin(v), u)

La norma del vector normal es:
|N| = \sqrt{2u^2\cos^2(v) + 2u^2\sin^2(v) + u^2}
= \sqrt{2u^2 + u^2}
= \sqrt{3}u

Por lo tanto el área pedida (del semicono) es:

\sqrt{3} \int_0^{2\pi} dv \int_0^{4\sqrt{3}} u \ du = 48\sqrt{3}\pi

En el siguiente gráfico se puede ver el semicono en azul, y la esfera en celeste (se graficó abierta para que pueda verse el semicono en su interior)


draw3d(
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
surface_hide = true,
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), sqrt(2)*u, u, 0, 4*sqrt(3), v, 0, 2*%pi),
color = "light-blue",
parametric_surface(12*cos(u)*sin(v), 12*sin(u)*sin(v), 12*cos(v), u, 0, 2*%pi*0.75, v, 0, %pi)
);

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2 comentarios en “Tp.9 Ej.5.b

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