Tp.9 Ej.5.g

Jueves, diciembre 17th, 2009

Calcule el área de las siguientes superficies:

g) Superficie de ecuación z = x^2 - y con |y| < x, x < 1

Solución:

Parametrizo la superficie como:
S(x,y) = (x,y,x^2-y)
De la primer restricción:
-x < y < x
se desprende que x > 0
La segunda restricción es:
x < 1

Busquemos el vector normal:
S'_x = (1,0,2x)
S'_y = (0,1,-1)
N = S'_x \wedge S'_y = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 2x \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right|
= (-2x,1,1)
Su norma es:
|N| = \sqrt{4x^2 + 1 +1}
= \sqrt{4x^2 +2}

Por lo tanto, el área de la superficie viene dada por
\int_0^1 \sqrt{4x^2 +2} dx \int_{-x}^{x} dy
2 \int_0^1 x\sqrt{4x^2 + 2}dx

Resolvemos la integral indefinida
\int x\sqrt{4x^2 + 2}dx
Si u = 4x^2 + 2
du = 8x dx
\frac{1}{8}\int \sqrt{u}du
= \frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{3/2} + c
= \frac{1}{12} (4x^2+2)^{3/2} + c

Finalmente, el área pedida es
2 \left[ \frac{1}{12} (4x^2+2)^{3/2} \right]_0^1
2 \left[ \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{6} \right]
=  \sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 1.97808...

El gráfico de la superficie S es

reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
reparametrize(x, y, x^2-y, x,0,1,y,-x,x)
);

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4 comentarios el “Tp.9 Ej.5.g

  1. Jonathan dice:

    La cuenta del resultado final está mal… Saludos

  2. Jesica dice:

    Buenas, que es un Recinto Simple?

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