Tp.9 Ej.5.a

Calcule el área de las siguientes superficies:

a) Trozo de cilindro z = 2x^2 con y \leq x, z \leq 6, 1º octante.

Solución:

Primero parametricemos la superficie:

S(x,y) = (x,y,2x^2)

Como z \leq 6 debe cumplirse que:
2x^2 \leq 6
x^2 \leq 3
0 \leq x \leq \sqrt{3} (x es positiva por estar en el 1º octante)

Busquemos el vector normal a la superficie:

N = S'_x \wedge S'_y = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 4x \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right|
= (-4x, 0, 1)

Por lo tanto su norma es:

|N| = \sqrt{16x^2 + 1}

Finalmente, la integral de superficie nos queda:

\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{16x^2+1} dx \int_0^x dy

\int_0^{\sqrt{3}} x \sqrt{16x^2+1} dx

Si u = 16x^2+1
du = 32x dx

\frac{1}{32} \int \sqrt{u} du = \frac{1}{32} \frac{2}{3} (16x^2+1)^{3/2} + c

Por lo tanto, el área de la superficie es

\left[ \frac{1}{48} (16x^2+1)^{3/2} \right]_0^{\sqrt{3}}

= \frac{343}{48} - \frac{1}{48} = \frac{57}{8}

En el siguiente gráfico se puede observar la superficie en color celeste, y la proyección sobre el plano xy en rojo:

tp9_ej5a
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(x, y, 2*x^2, x,0,sqrt(3),y,0,x),
color = "red",
reparametrize(x, y, 0, x,0,sqrt(3),y,0,x)
);

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