Tp.9 Ej.12

Calcule el flujo del gradiente de f(x,y,z) = x+y+zg(x-y) a través de x+y=4 en el 1º octante, con 0 \leq z \leq 8. Suponga g \in C^1

Solución:

f(x,y,z) = x+y+zg(x-y)
\nabla f = ( 1+ z g'(x-y),  1- zg'(x-y), g(x-y) )

Voy a calcular el flujo usando el método de la función implícita: Defino
g(x,y,z) = x+y-4
Entonces la superficie equivale al conjunto de nivel 0 de g. Su gradiente es:
\nabla g(x,y,z) = (1,1,0)
Proyecto sobre el plano coordenado xz, entonces divido por g'_y = 1 y me queda
n = (1,1,0)

El producto escalar entre el campo y el vector normal
\nabla f \cdot n = 1 + zg'(x-y) + 1- zg'(x-y) = 2

Entonces el flujo pedido es
2 \int_0^4 dx \int_0^8 dz = 64
donde la orientación de la superficie es tal que n \cdot (1,0,0) = 1 > 0

En el siguiente gráfico se puede ver la superficie en color azul, y su proyección sobre el plano xz en color negro.


draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="blue",
parametric_surface(x,4-x,z, x,0,4, z,0,8),
color="black",
parametric_surface(x,0,z, x,0,4, z,0,8)
);

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2 respuestas a Tp.9 Ej.12

  1. Ezequiel dijo:

    Damian, no entiendo por que es necesaria la aclaración
    “donde la orientación de la superficie es tal que n . (1,0,0) = 1 > 0”

    Gracias

    Saludos

  2. Jesica dijo:

    No veo que sea necesaria en este caso, pero hay ejercicios en los cuales te piden la orientación.

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