Tp.9 Ej.5.f

Calcule el área de las siguientes superficies:

f) Superficie frontera del cuerpo definido por x^2 + y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq \sqrt{x^2+y^2}

Solución:

Vamos a dividir la superficie en 3 “caras” que tiene el cuerpo.
S_1 va a ser el “piso” que es el círculo unitario en z=0
S_1(x,y) = (x,y,0) con x^2 + y^2 \leq 1, su área es Area(S_1) = \pi (como no pide explícitamente que lo calculemos mediante integrales, usamos la fórmula conocida \pi r^2 con r=1)

S_2 va a ser la “pared” que es el cilindro de radio 1 y altura 1, su área es Area(S_2) = 2\pi (con la fórmula 2\pi r h, con r=h=1)

S_3 va a ser el “techo” que vendría a ser la parte del cono, parametrizando la superficie S_3 como:
S_3(\rho, \phi) = (\rho\cos(\phi), \rho\sin(\phi), \rho), con
0 \leq \phi \leq 2\pi
0 \leq \rho \leq 1
Los vectores tangentes son:
(S_3)'_{\phi} = (-\rho\sin(\phi), \rho\cos(\phi), 0)
(S_3)'_{\rho} = (\cos(\phi), \sin(\phi), 1)
El vector normal es:
N = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ -\rho\sin(\phi) & \rho\cos(\phi) & 0 \\ \cos(\phi) & \sin(\phi) & 1 \end{matrix} \right|
= (\rho\cos(\phi), \rho\sin(\phi), -\rho)
Su norma es:
|N|  = \sqrt{\rho^2 + \rho^2}
= \sqrt{2}\rho

Por lo tanto el área de S_3 es:
\sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho d\rho
Area(S_3) = \sqrt{2}\pi

Finalmente, el área de la superficie pedida S es igual a la suma de las 3 “caras” que calculamos:
Area(S) = 3\pi + \sqrt{2}\pi

El gráfico del cuerpo cuya frontera es la superficie S es:


draw3d(
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
surface_hide = true,
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), u, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi),
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 0, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi),
parametric_surface(cos(v), sin(v), u, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi)
);

Anuncios
Esta entrada fue publicada en TP09 - Integrales de Superficie y Flujo. Guarda el enlace permanente.

8 respuestas a Tp.9 Ej.5.f

  1. Jonathan dijo:

    Al hallar el área del cono, parametrizando en polares. Por qué no se incluye el factor de conversión al hacer la integral? o sea aparte de mult por raiz de 2 x rho, no falta multiplicar otra vez por rho? No comprendo… Muchas gracias

  2. Sergio dijo:

    Ah mi entender no hace falta incluir el ‘factor de conversion’ porque no se esta haciendo un cambio de variables a ningun otro sistema. La parametrizacion que tomo ya esta en dicho sistema de coordenadas.

    • dami dijo:

      Hola Jonathan y Sergio,
      Está bastante bien Sergio tu respuesta a la pregunta de Jonathan. El “factor de conversión” (el jacobiano) se incluye cuando se hace un cambio de variables, y yo no hice ningún cambio de variables en esa integral, sino que diréctamente parametricé la superficie de esa forma. Claro que hay otras formas de hacerlo, por ejemplo proyectando sobre el plano xy y después cambiando a polares, pero yo prefiero diréctamente parametrizar de la manera mas conveniente la superficie.
      Suerte.

  3. Daniela dijo:

    El que no haya cambio de variables se debe a la forma en que obtuviste el normal? Ando medio perdida, siempre había sacado áreas con la fórmula ímplicita y proyectando.

    • dami dijo:

      Hola Daniela,

      Son dos formas distintas de integrar sobre una superficie: con la fórmula implícita o parametrizando. En este caso cualquiera de las dos funcionaría bien, así que si lo hacés con la fórmula implícita y proyectando te tendría que dar lo mismo.

      A mi personalemente me gusta más esta otra forma de integrar superficies que es parametrizando. Fijate que no usé una parametrización cualquiera sinó que en las variables xy use de cierta forma polares. Eso es lo que hace que no necesite cambiar a polares después, por eso nunca incluyo ningún jacobiano. (El diferencial de superficie juega el papel del jacobiano, fijate que aparece \rho de todas formas en la integral)

      Muchos usan casi siempre la fórmula implícita, y no saben que a veces es más simple y mecánico si parametrizás la superficie. Yo por lo general las únicas superficies para las que uso la versión implícita es para planos y esferas, donde es mucho más fácil obtener la normal por el gradiente que mediante la parametrización, aunque también pueden parametrizarse.

      Espero haber aclarado el tema, sino volvé a preguntar.
      Suerte!

    • Daniela dijo:

      Gracias. Aprobé 😀

  4. Javier dijo:

    Damian, buenas tardes.. Te hago una consulta que no me termina de quedar en Claro, cuando parametrizas la curva no especificas el radio dejando p en lugar de 1. En cambio en el ejercicio 5c) especificas el radio en la curva dejando el 2 . Cuando hago el producto vectoria de S’r por S’v , me cambian los valores si dejo en lugar de r , el 2. Gracias!!

    • dami dijo:

      Hola Javier,
      Me parece que estás confundiendo el parametrizar una circunferencia (que es una curva, y fijás el radio), con el parametrizar un disco circular (que es una circunferencia y dejas \rho variable).
      Saludos,
      Damián.

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s