Tp.5 Ej.8.a

Lunes, octubre 5th, 2009

Calcule mediante aproximación lineal y compare el resultado con el obtenido con calculadora.

a) f(1.96, 0.96) cuando f(x,y) = \sqrt{25-2x^2-y^2}

Solución:

Primero veamos si podemos obtener una aproximación lineal a la función en el entorno del (2,1)
f'_x = \frac{-4x}{2\sqrt{25-2x^2-y^2}} = \frac{-2x}{\sqrt{25-2x^2-y^2}}
f'_y = \frac{-2y}{2\sqrt{25-2x^2-y^2}} = \frac{-y}{\sqrt{25-2x^2-y^2}}
Estas funciones son contínuas en el entorno de (2,1), por lo tanto f \in C^1 en dicho entorno, con lo cual sabemos que la función es diferenciable y por lo tanto existe aproximación lineal en ese entorno.
La aproximación lineal tendrá la forma:
f(x,y) \approx f(2,1) + f'_x(2,1) (x-2) + f'_y(2,1) (y-1)

f(x,y) \approx 4 - (x-2) - \frac{1}{4}(y-1)
f(1.96, 0.96) \approx 4 - (-0.04) - \frac{1}{4}(-0.04)
\approx 4 + 0.04 + 0.01
\approx 4.05

Si calculamos diréctamente con la calculadora el valor es
f(1.96, 0.96) = 4.049098... \approx 4.05

En el siguiente gráfico se puede visualizar la superficie y su aproximación lineal en el entorno del (2,1)
tp5_ej8a
draw3d(
surface_hide = true,
xu_grid=20, yv_grid=20,
xlabel = "x",
ylabel = "y",
zlabel = "z",
color=green,
parametric_surface(x,y,sqrt(25-2*x^2-y^2), x,1,3, y,0,2),
color=blue,
parametric_surface(x,y,4-(x-2)-(y-1)/4, x,1,3, y,0,2),
line_width=3,
color=cyan,
parametric(2,1,4,t,-1,1),
color=red,
parametric(1.96,0.96,4.0490986,t,-1,1),
color=light-red,
parametric(1.96,0.96,4.05,t,-1,1)
);

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